Para cada equação abaixo:
  • Identifique a superfície quádrica.
  • Descreva as seções planas (cortes por planos x=k, y=k, z=k ).
    \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{36}=1

Passo 1

O enunciado pede para a superfície definida por
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{36}=1
identificarmos seu tipo (classificação de quádricas via sinais dos coeficientes) e descrevê-la ao cortarmos por planos x=k, y=k e z=k.

Passo 2

Para classificar quádricas, olhamos para a assinatura dos coeficientes de x^{2},y^{2},z^{2} na forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
Aqui temos dois sinais positivos ( +x^{2},+y^{2}) e um negativo ( -z^{2}), com lado direito +1. Isso caracteriza um hiperboloide de uma folha, uma superfície conectada que em cada z fixo dá uma elipse.

Passo 3

Seção por z=k. Substituindo z=k em
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{16}-\frac{k^{2}}{36}=1
obtemos
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{16}=1+\frac{k^{2}}{36}.
Como 1+\tfrac{k^{2}}{36}>0 para todo k, essa é sempre uma elipse centrada em (0,0) no plano z=k. Seus semi-eixos valem
a_x=4\sqrt{1+\frac{k^{2}}{36}}, \quad a_y=4\sqrt{1+\frac{k^{2}}{36}}.

Passo 4

Seção por x=k. Substituindo x=k em
\frac{k^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{36}=1
temos
\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{36}=1-\frac{k^{2}}{16}.
Definamos D=1-\tfrac{k^{2}}{16}.
  • Se |k|<4, então D>0 e a equação é uma hiperbola com eixo real paralelo a y.
  • Se |k|=4, então D=0 e a seção degenera em duas retas que se cruzam em (y,z)=(0,0).
  • Se |k|>4, então D<0 e podemos reescrever \frac{z^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{16}=\frac{k^{2}}{16}-1>0,que também é uma hiperbola, mas com eixo real paralelo a z.

Passo 5

Seção por y=k. Pela simetria em x e y, o corte por y=k dá a mesma análise do Passo 4, trocando y por x:
\frac{x^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{36}=1-\frac{k^{2}}{16},
logo hiperbolas para |k|\neq4 e retas duplas para |k|=4.

Resposta

Superfície: hiperboloide de uma folha.
Seção por z=k: elipse \tfrac{x^{2}}{16}+\tfrac{y^{2}}{16}=1+\tfrac{k^{2}}{36}.
Seção por x=k: hiperbola \tfrac{y^{2}}{16}-\tfrac{z^{2}}{36}=1-\tfrac{k^{2}}{16}, degenerando em duas retas se |k|=4.
Seção por y=k: idem à de x=k, trocando y por x.

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