Para cada equação abaixo:
- Identifique a superfície quádrica.
- Descreva as seções planas (cortes por planos
).
Passo 1
O enunciado pede para a superfície definida por
identificarmos seu tipo (classificação de quádricas via sinais dos coeficientes) e descrevê-la ao cortarmos por planos
,
e
.
Passo 2
Para classificar quádricas, olhamos para a assinatura dos coeficientes de
na forma
Aqui temos dois sinais positivos (
) e um negativo (
), com lado direito
. Isso caracteriza um hiperboloide de uma folha, uma superfície conectada que em cada
fixo dá uma elipse.
Passo 3
Seção por
. Substituindo
em
obtemos
Como
para todo
, essa é sempre uma elipse centrada em
no plano
. Seus semi-eixos valem
Passo 4
Seção por
. Substituindo
em
temos
Definamos
.
- Se
, então e a equação é uma hiperbola com eixo real paralelo a . - Se
, então e a seção degenera em duas retas que se cruzam em . - Se
, então e podemos reescrever que também é uma hiperbola, mas com eixo real paralelo a .
Passo 5
Seção por
. Pela simetria em
e
, o corte por
dá a mesma análise do Passo 4, trocando
por
:
logo hiperbolas para
e retas duplas para
.
Resposta
Superfície: hiperboloide de uma folha.
Seção por : elipse
.
Seção por : hiperbola
, degenerando em duas retas se
.
Seção por : idem à de
, trocando
por
.
Seção por
Seção por
Seção por