Para cada equação abaixo:
- Identifique a superfície quádrica.
- Descreva as seções planas (cortes por planos
).
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície descrita pela equação
e pede dois pontos:
- Identificar que tipo de superfície quádricas ela representa.
- Descrever as seções resultantes ao intersectar essa superfície com planos do tipo
, e .
Passo 2
Para identificar o tipo de quádricas, lembramos que a forma geral de um paraboloide elíptico que abre para cima é
com
e
. No nosso caso temos
(
) e
(
). Logo, é um paraboloide elíptico que se abre na direção positiva de
, com vértice em
.
Passo 3
Seção por
:
Ao fixar , a equação vira
Ao fixar
- Se
, isso descreve uma elipse centrada em no plano , com semieixos
ao longo de e ao longo de . - Se
, reduz-se ao ponto . - Se
, não há interseção real (nenhum ponto).
Passo 4
Seção por
:
Ao fixar , obtemos
Ao fixar
Isso é uma parábola no plano vertical paralelo a
:
- O vértice está em
. - Abre para cima segundo
, com “fator de estiramento” .
Passo 5
Seção por
:
Ao fixar , temos
Ao fixar
Isso também é uma parábola, agora no plano vertical paralelo a
:
- Vértice em
. - Abre para cima segundo
, com “fator de estiramento” .
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em
que se abre para
.
- Cortes
: elipses (para ). - Cortes
: parábolas no plano . - Cortes
: parábolas no plano .