Para cada equação abaixo:
  • Identifique a superfície quádrica.
  • Descreva as seções planas (cortes por planos x=k, y=k, z=k ).
    z=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície descrita pela equação
z = \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9}
e pede dois pontos:
  1. Identificar que tipo de superfície quádricas ela representa.
  2. Descrever as seções resultantes ao intersectar essa superfície com planos do tipo x=k, y=k e z=k.

Passo 2

Para identificar o tipo de quádricas, lembramos que a forma geral de um paraboloide elíptico que abre para cima é
z = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}},
com a>0 e b>0. No nosso caso temos a^{2}=4 ( a=2) e b^{2}=9 ( b=3). Logo, é um paraboloide elíptico que se abre na direção positiva de z, com vértice em (0,0,0).

Passo 3

Seção por z=k:
Ao fixar z=k, a equação vira
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = k.
  • Se k>0, isso descreve uma elipse centrada em (0,0) no plano z=k, com semieixos
    \;2\sqrt{k} ao longo de x e \;3\sqrt{k} ao longo de y.
  • Se k=0, reduz-se ao ponto (0,0,0).
  • Se k<0, não há interseção real (nenhum ponto).

Passo 4

Seção por x=k:
Ao fixar x=k, obtemos
z = \frac{k^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9}.
Isso é uma parábola no plano vertical paralelo a yz:
  • O vértice está em \bigl(y=0,\;z=\tfrac{k^{2}}{4}\bigr).
  • Abre para cima segundo y, com “fator de estiramento” \tfrac{1}{9}.

Passo 5

Seção por y=k:
Ao fixar y=k, temos
z = \frac{x^{2}}{4} + \frac{k^{2}}{9}.
Isso também é uma parábola, agora no plano vertical paralelo a xz:
  • Vértice em \bigl(x=0,\;z=\tfrac{k^{2}}{9}\bigr).
  • Abre para cima segundo x, com “fator de estiramento” \tfrac{1}{4}.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico de vértice em (0,0,0) que se abre para +z.
  • Cortes z=k: elipses \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{9}=k (para k>0).
  • Cortes x=k: parábolas z=\tfrac{k^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{9} no plano yz.
  • Cortes y=k: parábolas z=\tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{k^{2}}{9} no plano xz.

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