Para cada equação determine d yd x.
(5-x)^2+x y=x.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão: precisamos determinar a derivada d yd x da equação (5-x)^2+x y=x. O conteúdo que estaremos trabalhando aqui é o cálculo das derivadas implícitas, que é usado quando temos uma relação entre x e y que não é dada de forma explícita. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são fundamentos básicos da derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação. Temos:
(5-x)^2 + xy = x
Agora, precisamos derivar ambos os lados em relação a x. Lembre-se que, ao derivar y, vamos usar a regra da cadeia porque y é uma função de x. Vamos derivar cada parte da equação:
  1. A derivada de (5-x)^2, usando a regra da cadeia, é:
    • Derivada do lado de fora: 2(5-x).
    • Derivada do lado de dentro: -1 (porque a derivada de -x é -1).
      Então, a derivada total é:
    ddx[(5-x)^2] = 2(5-x)(-1) = -2(5-x)
  2. A próxima parte é xy. Aqui precisamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto é:
    ddx(uv) = u dvdx + v dudx,
    onde u = x e v = y. Portanto:
    - u = x implies dudx = 1.
    - v = y implies dvdx = dydx (já que y é uma função de x).
    Então, derivando xy, obtemos:
    ddx(xy) = x dydx + y cdot 1 = x dydx + y
  3. Por último, a derivada de x é simplesmente 1.
Agora, juntando tudo, temos a derivada da equação original:
-2(5-x) + (x dydx + y) = 1

Passo 3

Agora vamos reorganizar a equação para isolar dydx. Primeiro, vamos levar todos os termos que não incluem dydx para o outro lado da equação:
x dydx = 1 + 2(5-x) - y
Agora, vamos simplificar o lado direito:
x dydx = 1 + 10 - 2x - y
x dydx = 11 - 2x - y
Por fim, para encontrar dydx, basta dividir ambos os lados por x:
dydx = 11 - 2x - yx

Resposta

Portanto, a derivada dydx é dada por:
dydx = 11 - 2x - yx

Exercícios relacionados