Nos exercícios de 6 a 11 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
lim x 1 3(1-x^2)-2(1-x^3)(1-x^3)(1-x^2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando limx 1 3(1 - x^2) - 2(1 - x^3)(1 - x^3)(1 - x^2) se aproxima de 1 para a expressão:
Aqui, estamos lidando com limites em funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e, possivelmente, fatorar os polinômios para cancelar termos que estão causando indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador. Vamos expandir os termos:
3(1 - x^2) - 2(1 - x^3) = 3 - 3x^2 - 2 + 2x^3 = (3 - 2) + (-3x^2) + 2x^3 = 1 - 3x^2 + 2x^3
Então, o numerador simplificado fica .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador:
(1 - x^3)(1 - x^2)
Sabemos que 1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2) e 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) são diferenças de potências, e podemos fatorar esses termos:
(1 - x)(1 + x + x^2)(1 - x)(1 + x) = (1 - x)^2(1 + x)(1 + x + x^2)
Então, o denominador fatorado fica:

Passo 4

Vamos agora escrever a expressão completa com as simplificações que fizemos:
2x^3 - 3x^2 + 1(1 - x)^2(1 + x)(1 + x + x^2)
Percebemos que ao substituir diretamente, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, o que nos dá uma forma indeterminada . Para resolver isso, precisamos fatorar o numerador para cancelar termos semelhantes no denominador.

Passo 5

Vamos fatorar o numerador 2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0 . Para isso, procuramos raízes racionais da equação 2x^3 - 3x^2 + 1 = (x - 1)(2x^2 - x - 1) . Testando 2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1) :
(x - 1)(2x + 1)(x - 1) = (x - 1)^2(2x + 1)
Então, é uma raiz. Assim, é um fator do numerador. Vamos fazer a divisão polinomial ou usar a regra de fatoração para encontrar os outros fatores:
Dividindo por , encontramos:
Agora, fatoramos :
Então, o numerador totalmente fatorado fica:

Passo 6

Agora, substituímos o numerador e o denominador fatorados na expressão original:
(x - 1)^2(2x + 1)(1 - x)^2(1 + x)(1 + x + x^2)
Percebemos que (x - 1)^2(2x + 1)(x - 1)^2(1 + x)(1 + x + x^2) = 2x + 1(1 + x)(1 + x + x^2) e são equivalentes, já que . Portanto, podemos simplificar esses termos:

Passo 7

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo 2(1) + 1(1 + 1)(1 + 1 + 1^2) = 2 + 12 cdot 3 = 36 = 12 :

Resposta

O limite é .

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