Nos exercícios de 6 a 11 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 1 para a expressão:
Aqui, estamos lidando com limites em funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e, possivelmente, fatorar os polinômios para cancelar termos que estão causando indeterminação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador. Vamos expandir os termos:
Então, o numerador simplificado fica
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
Sabemos que
e
são diferenças de potências, e podemos fatorar esses termos:
Então, o denominador fatorado fica:
Passo 4
Vamos agora escrever a expressão completa com as simplificações que fizemos:
Percebemos que ao substituir
diretamente, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, o que nos dá uma forma indeterminada
. Para resolver isso, precisamos fatorar o numerador para cancelar termos semelhantes no denominador.
Passo 5
Vamos fatorar o numerador
. Para isso, procuramos raízes racionais da equação
. Testando
:
Então,
é uma raiz. Assim,
é um fator do numerador. Vamos fazer a divisão polinomial ou usar a regra de fatoração para encontrar os outros fatores:
Dividindo
por
, encontramos:
Agora, fatoramos
:
Então, o numerador totalmente fatorado fica:
Passo 6
Agora, substituímos o numerador e o denominador fatorados na expressão original:
Percebemos que
e
são equivalentes, já que
. Portanto, podemos simplificar esses termos:
Passo 7
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite é
.