Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto p indicado:
3 x^2-(1-y)^2=x+1, em p=(2,-2).

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão. Temos a curva definida pela equação 3 x^2-(1-y)^2=x+1 e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto p=(2,-2). O conteúdo da matéria que estamos usando aqui envolve derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação de uma curva em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar da derivada implícita da função dada e da fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação dada para facilitar o cálculo. A equação é:
3 x^2 - (1 - y)^2 = x + 1
Para encontrar a reta tangente, precisamos obter a derivada da função implícita. Vamos calcular a derivada em relação a x. Para fazer isso, precisamos derivar ambos os lados da equação. Lembre-se que quando temos y, precisamos usar a regra da cadeia, que nos diz que quando derivamos y, devemos multiplicar pela derivada de y em relação a x, que chamaremos de y'.
Derivando o lado esquerdo:
  • A derivada de 3x^2 em relação a x é 6x.
  • Para a parte -(1 - y)^2, usamos a regra da cadeia. A derivada é -2(1 - y)(-y') = 2(1 - y)y'.
Assim, a derivada do lado esquerdo da equação é:
6x + 2(1 - y)y'
Agora, derivamos o lado direito:
  • A derivada de x + 1 é 1.
Então, temos a equação da derivada:
6x + 2(1 - y)y' = 1
Vamos resolver essa equação para y':
2(1 - y)y' = 1 - 6x
Agora, isolando y':
y' = 1 - 6x2(1 - y)

Passo 3

Agora que temos a derivada, precisamos calcular o valor de y' no ponto p = (2, -2). Vamos substituir x = 2 e y = -2 na equação que encontramos para y':
y' = 1 - 6(2)2(1 - (-2)) = 1 - 122(1 + 2) = -112 cdot 3 = -116
Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto (2, -2) é -116.
Agora podemos usar a fórmula da reta tangente, que tem a forma y - y0 = m(x - x0), onde (x0, y0) é o ponto onde a reta tangente toca a curva e m é a inclinação. Usando o ponto (2, -2) e a inclinação encontrada:
y - (-2) = -116(x - 2)
Simplificando a expressão:
y + 2 = -116(x - 2)

Resposta

Portanto, a equação da reta tangente à curva no ponto p=(2,-2) é:
y + 2 = -116(x - 2)
Ou, se preferir deixar na forma geral:
y = -116x + 113 - 2
y = -116x + 53

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