Determine a derivada:
f(x)=arctg^2(cos x).

Passo 1

Vamos fazer um resumo do que o exercício pede. Queremos encontrar a derivada da função f(x) = arctg^2(cos x). O conteúdo da matéria aqui envolve derivadas e a regra da cadeia, que é uma técnica que usamos quando temos funções compostas. Para resolver, precisaremos da fórmula da derivada da função arctg(x) e também da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da derivada da função arctg(u), que é:
ddx [arctg(u)] = 11 + u^2 cdot dudx,
onde u é uma função que depende de x. No nosso caso, temos u = cos x.
Além disso, como f(x) é o quadrado da função arctg(cos x), precisamos usar a regra da cadeia para derivar f(x). A regra da cadeia diz que, se temos uma função composta g(h(x)), então:
ddx [g(h(x))] = g'(h(x)) cdot h'(x)
Aqui, nossa função g(u) = u^2, então a derivada de g(u) é:
g'(u) = 2u
Assim, nesta parte, calculamos g'(arctg(cos x)) = 2arctg(cos x).

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de g(u) e aplicar a regra da cadeia!
Usando a regra da cadeia, temos:
f'(x) = 2 arctg(cos x) cdot ddx[arctg(cos x)]
Agora precisamos calcular ddx[arctg(cos x)]. Aplicando a primeira fórmula que mencionamos:
ddx[arctg(cos x)] = 11 + cos^2 x cdot (-sin x),
porque a derivada de cos x é -sin x. Substituindo isso na nossa expressão, ficamos com:
f'(x) = 2 arctg(cos x) cdot -sin x1 + cos^2 x

Resposta

Assim, a derivada da função f(x) = arctg^2(cos x) é:
f'(x) = -2 arctg(cos x) cdot sin x1 + cos^2 x

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