Resolva a equação diferencial usando o método da Transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de valor inicial
O que se pede é encontrar a função
que satisfaz essa equação para
e a condição inicial fornecida.
Informações relevantes:
- A equação é linear de primeira ordem com termo forçante
. - A condição inicial é
. - Vou usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em termos de
, resolver para a transformada e depois aplicar a transformada inversa para obter .
Passo 2
Definição e propriedades úteis da transformada de Laplace (mini-aula):
- Definição: para uma função
(adequada para Laplace) define-se
Aqui
é normalmente abreviado por
. A variável
é a variável do domínio transformado (complexa em geral).
- Linearidade:
para constantes . - Transformada de uma exponencial: para
constante
- Transformada da derivada (muito importante para EDOs): se
e é suficientemente bem comportada, então
Rápida derivação desta fórmula (integração por partes):\newline
Sob condições que fazem o termo de fronteira em desaparecer, obtemos
, isto é a fórmula acima.
Sob condições que fazem o termo de fronteira em
Essas propriedades permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em
, resolver e então usar a transformada inversa
para voltar a
.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação dada.
Transformando
usa-se a fórmula da derivada; transformando
usa-se linearidade; transformando
usa-se a fórmula da exponencial. Assim:
Agora substituindo as expressões conhecidas:
Lembrando que
, isso simplifica para
Passo 4
Resolver a equação algébrica para
.
Juntando termos com
:
Logo
Passo 5
Fazer decomposição em frações parciais para poder aplicar a transformada inversa facilmente.
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Escolhendo valores convenientes de
para achar
e
:
- Para
: . - Para
: .
Portanto
Passo 6
Aplicar a transformada inversa termo a termo (mini-aula rápida sobre inversão):
- Sabendo que
, pela linearidade a inversa dá .
Aplicando a inversa a:
Ou seja,
Passo 7
Verificação rápida (confiança extra): checar condição inicial e a equação.
- Condição inicial:
, ok. - Substituir na equação: calcular
. Então
o que coincide com o lado direito. Logo a solução está correta.