Resolva a equação diferencial usando o método da Transformada de Laplace:
y^{\prime}(t)+2 y(t)=e^{t}, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de valor inicial
y'(t)+2y(t)=e^{t},\qquad y(0)=0.
O que se pede é encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação para t\ge0 e a condição inicial fornecida.
Informações relevantes:
  • A equação é linear de primeira ordem com termo forçante e^{t}.
  • A condição inicial é y(0)=0.
  • Vou usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em termos de s, resolver para a transformada Y(s) e depois aplicar a transformada inversa para obter y(t).

Passo 2

Definição e propriedades úteis da transformada de Laplace (mini-aula):
  • Definição: para uma função f(t) (adequada para Laplace) define-se
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui \mathcal{L}\{f(t)\}(s) é normalmente abreviado por F(s). A variável s é a variável do domínio transformado (complexa em geral).
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\} para constantes a,b.
  • Transformada de uma exponencial: para a constante
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},\qquad \text{para }\Re(s)>a.
  • Transformada da derivada (muito importante para EDOs): se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) e y é suficientemente bem comportada, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Rápida derivação desta fórmula (integração por partes):\newline
\displaystyle \mathcal{L}\{y'(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y'(t)\,dt=\big[e^{-st}y(t)\big]_{0}^{\infty}+s\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt.
Sob condições que fazem o termo de fronteira em \infty desaparecer, obtemos \mathcal{L}\{y'(t)\}= -y(0)+sY(s), isto é a fórmula acima.
Essas propriedades permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em Y(s), resolver e então usar a transformada inversa \mathcal{L}^{-1} para voltar a y(t).

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação dada.
Transformando y'(t) usa-se a fórmula da derivada; transformando 2y(t) usa-se linearidade; transformando e^{t} usa-se a fórmula da exponencial. Assim:
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)+2\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=\mathcal{L}\{e^{t}\}(s).
Agora substituindo as expressões conhecidas:
\big(sY(s)-y(0)\big)+2Y(s)=\frac{1}{s-1}.
Lembrando que y(0)=0, isso simplifica para
sY(s)+2Y(s)=\frac{1}{s-1}.

Passo 4

Resolver a equação algébrica para Y(s).
Juntando termos com Y(s):
(s+2)Y(s)=\frac{1}{s-1}.
Logo
Y(s)=\frac{1}{(s-1)(s+2)}.

Passo 5

Fazer decomposição em frações parciais para poder aplicar a transformada inversa facilmente.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(s-1)(s+2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando por (s-1)(s+2) obtemos
1=A(s+2)+B(s-1).
Escolhendo valores convenientes de s para achar A e B:
  • Para s=1: 1=A(3)+B(0)\Rightarrow A=\dfrac{1}{3}.
  • Para s=-2: 1=A(0)+B(-3)\Rightarrow B=-\dfrac{1}{3}.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+2}.

Passo 6

Aplicar a transformada inversa termo a termo (mini-aula rápida sobre inversão):
  • Sabendo que \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}, pela linearidade a inversa dá \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at}.
    Aplicando a inversa a Y(s):
y(t)=\frac{1}{3}e^{1\cdot t}-\frac{1}{3}e^{-2\cdot t}.
Ou seja,
y(t)=\frac{1}{3}\big(e^{t}-e^{-2t}\big),\qquad t\ge0.

Passo 7

Verificação rápida (confiança extra): checar condição inicial e a equação.
  • Condição inicial: y(0)=\dfrac{1}{3}(1-1)=0, ok.
  • Substituir na equação: calcular y'(t)=\dfrac{1}{3}(e^{t}+2e^{-2t}). Então
y'(t)+2y(t)=\frac{1}{3}(e^{t}+2e^{-2t})+\frac{2}{3}(e^{t}-e^{-2t}) =\frac{1}{3}(e^{t}+2e^{-2t}+2e^{t}-2e^{-2t})=\frac{1}{3}\cdot 3e^{t}=e^{t},
o que coincide com o lado direito. Logo a solução está correta.

Resposta

y(t)=\frac{1}{3}\big(e^{t}-e^{-2t}\big)

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