Resolva a equação diferencial usando o método da Transformada de Laplace:
y^{\prime}(t)-2 y(t)=0, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial:
y^{\prime}(t)-2\,y(t)=0,\qquad y(0)=1.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem, linear e homogênea.
  • A condição inicial é y(0)=1.
    A tarefa é resolver usando o método da Transformada de Laplace (ou seja, aplicar a transformada, resolver no domínio de s e inverter).

Passo 2

O que é a Transformada de Laplace e como vamos usá-la:
  • A Transformada de Laplace de uma função y(t) (definida para t\ge0) é
\mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,y(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa. Aqui Y(s) é a imagem de y(t) no domínio de s.
  • Usaremos duas propriedades essenciais:
    1. Linearidade: \mathcal{L}\{a f+b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
    2. Transformada da derivada: \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0). Vou explicar e derivar essa fórmula no próximo passo para ficar claro por que vale.

Passo 3

Derivando a fórmula da transformada da derivada (explicação passo a passo):
  • Começamos pela definição:
\mathcal{L}\{y'\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,y'(t)\,dt.
  • Usamos integração por partes. Tomemos u=e^{-s t} e dv=y'(t)\,dt. Então du=-s e^{-s t}\,dt e v=y(t).
  • Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,y'(t)\,dt = \Big[e^{-s t}y(t)\Big]_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,y(t)\,dt.
  • Supondo que y(t) não cresça mais rápido que uma exponencial (condição padrão para existência da transformada), o termo de fronteira em t\to\infty vale 0. Então
\Big[e^{-s t}y(t)\Big]_{0}^{\infty} = 0 - y(0) = -y(0).
  • Portanto:
\mathcal{L}\{y'\}(s)= -y(0) + s\,Y(s),
ou seja
\mathcal{L}\{y'\}(s)=s\,Y(s)-y(0).
Essa é a propriedade que usamos.

Passo 4

Aplicar a Transformada de Laplace à equação diferencial:
  • Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados de \;y'(t)-2y(t)=0\; obtemos, usando linearidade,
\mathcal{L}\{y'\}(s) - 2\,\mathcal{L}\{y\}(s) = 0.
  • Substituindo a fórmula da derivada e escrevendo Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s):
\big(s\,Y(s)-y(0)\big) - 2\,Y(s) = 0.
  • Usando a condição inicial y(0)=1, isso fica
s\,Y(s) - 1 - 2\,Y(s) = 0.

Passo 5

Resolver a equação algébrica para Y(s):
  • Agrupando Y(s):
Y(s)\,(s-2) - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\,(s-2)=1.
  • Logo
Y(s)=\frac{1}{s-2}.
  • Observação rápida: a transformada obtida \dfrac{1}{s-2} é válida para \operatorname{Re}(s)>2, região onde a integral da transformada converge (isso é um detalhe de existência).

Passo 6

Encontrar y(t) aplicando a Transformada inversa:
  • Conhecimento padrão (tabela básica de Laplace): \mathcal{L}\{e^{a t}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} para \operatorname{Re}(s)>a.
  • Assim, a inversa satisfaz \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{a t}.
  • No nosso caso a=2, portanto
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-2}\right\}=e^{2t}.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Calcule y'(t): y'(t)=2e^{2t}.
  • Substituindo na equação: y'(t)-2y(t)=2e^{2t}-2e^{2t}=0 — ok.
  • Condição inicial: y(0)=e^{0}=1 — ok.
  • Portanto a solução está correta.

Resposta

y(t)=e^{2t}

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