Resolva a equação diferencial usando o método da Transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condição inicial:
Informações dadas:
- A equação diferencial é de primeira ordem, linear e homogênea.
- A condição inicial é
.
A tarefa é resolver usando o método da Transformada de Laplace (ou seja, aplicar a transformada, resolver no domínio dee inverter).
Passo 2
O que é a Transformada de Laplace e como vamos usá-la:
- A Transformada de Laplace de uma função
(definida para ) é
onde
é uma variável complexa. Aqui
é a imagem de
no domínio de
.
- Usaremos duas propriedades essenciais:
- Linearidade:
. - Transformada da derivada:
. Vou explicar e derivar essa fórmula no próximo passo para ficar claro por que vale.
- Linearidade:
Passo 3
Derivando a fórmula da transformada da derivada (explicação passo a passo):
- Começamos pela definição:
- Usamos integração por partes. Tomemos
e . Então e . - Aplicando integração por partes:
- Supondo que
não cresça mais rápido que uma exponencial (condição padrão para existência da transformada), o termo de fronteira em vale . Então
- Portanto:
ou seja
Essa é a propriedade que usamos.
Passo 4
Aplicar a Transformada de Laplace à equação diferencial:
- Aplicando
em ambos os lados de obtemos, usando linearidade,
- Substituindo a fórmula da derivada e escrevendo
:
- Usando a condição inicial
, isso fica
Passo 5
Resolver a equação algébrica para
:
- Agrupando
:
- Logo
- Observação rápida: a transformada obtida
é válida para , região onde a integral da transformada converge (isso é um detalhe de existência).
Passo 6
Encontrar
aplicando a Transformada inversa:
- Conhecimento padrão (tabela básica de Laplace):
para . - Assim, a inversa satisfaz
. - No nosso caso
, portanto
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança):
- Calcule
: . - Substituindo na equação:
— ok. - Condição inicial:
— ok. - Portanto a solução está correta.