Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
6. y^{\prime \prime \prime}-4 x^{2} y^{\prime}=\sin (x)

Passo 1

O enunciado pede que, para a equação
y^{\prime\prime\prime}-4 x^{2} y^{\prime}=\sin(x),
determinemos três coisas: (1) o tipo (se é EDO ou EDP), (2) a ordem e (3) o grau. As informações dadas são exatamente a forma da equação acima; não há figuras nem dados adicionais.

Passo 2

O que significa ser EDO ou EDP (explicação curta e prática).
  • Uma equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente (por exemplo x) e usa derivadas comuns como y', y'', y^{(n)}.
  • Uma equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes (por exemplo u_x, u_{yy}, símbolos com \partial).
    Aplicando isso ao problema: a equação usa y' e y^{\prime\prime\prime}, que são derivadas ordinárias em relação a uma única variável x. Logo é uma EDO.

Passo 3

O que é a ordem de uma equação diferencial e como identificar.
  • Ordem: é o maior número de derivadas que aparece na equação. Em outras palavras, procuramos a derivada de ordem mais alta presente.
    Na nossa equação aparecem y' (primeira derivada) e y^{\prime\prime\prime} (terceira derivada). A maior ordem presente é a terceira, portanto a ordem é 3.

Passo 4

O que é o grau de uma equação diferencial e quando ele está bem definido.
  • Grau: é o expoente (grau inteiro positivo) da maior derivada quando a equação é escrita de forma polinomial em todas as derivadas. Para que o grau seja definido, a equação deve ser um polinômio em y', y'', \dots (ou seja, não pode haver potências fracionárias, raízes, funções transcendentes das derivadas, nem derivadas no denominador).
  • Exemplo onde o grau NÃO está definido: (y'')^{1/2}+y=0 (a raiz impede um grau inteiro).
    Agora examine a equação dada: \,y^{\prime\prime\prime}-4 x^{2} y^{\prime}=\sin(x)\,.
  • As derivadas aparecem apenas na forma y^{\prime\prime\prime} e y^{\prime}, ambas com expoente 1.
  • Os coeficientes ( -4x^2) e o termo do lado direito ( \sin(x)) são funções de x, o que é permitido.
    Portanto a equação é polinomial nas derivadas e o expoente da maior derivada é 1. Logo o grau é 1.

Passo 5

Dicas rápidas de prova (como responder de forma curta e segura)
  • Ao pedir “tipo”: procure por \partial ou por índices de derivadas parciais; se não houver, é EDO.
  • Ao pedir “ordem”: identifique a maior derivada (neste caso y^{\prime\prime\prime} → ordem 3).
  • Ao pedir “grau”: verifique se a equação é polinomial nas derivadas; se for, pegue o expoente da maior derivada (aqui é 1). Se não for polinomial, escreva que o grau não está definido.

Resposta

Tipo: EDO
Ordem: 3
Grau: 1

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