Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
7.
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Passo 1
O enunciado fornece a equação
O que é pedido:
- Determinar se é uma equação diferencial ordinária (EDO) ou parcial (EDP).
- Determinar a ordem da equação.
- Determinar o grau da equação.
Observação: vou assumir que
é função de uma única variável independente (por exemplo
), porque o enunciado não dá várias variáveis independentes. Se
dependesse de várias variáveis, a classificação poderia mudar para EDP — vou comentar esse ponto mais adiante.
Passo 2
O que significa ser EDO ou EDP e como identificar aqui.
- Definição simples: uma equação diferencial é dita ordinária (EDO) quando a função incógnita depende de apenas uma variável independente (por exemplo
). É parcial (EDP) quando a incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes (por exemplo ) e aparecem derivadas parciais. - Na equação dada aparece apenas a notação
e derivadas simples em relação a uma variável (o apóstrofo em indica derivada ordinária de segunda ordem). Não há derivadas parciais nem múltiplas variáveis independentes explicitadas.
Portanto, sob a suposição natural
, a equação é uma EDO.
Passo 3
O que é ordem de uma equação diferencial e como encontrar aqui.
- Definição: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece na equação. Ou seja, procura-se a derivada de ordem mais alta presente.
- Na equação dada a maior derivada explícita é
, que é a derivada de segunda ordem.
Logo a ordem da equação é
.
Passo 4
O que é grau de uma equação diferencial e a verificação para este caso.
- Definição detalhada e importante: o grau de uma equação diferencial é o expoente (potência) do termo que contém a derivada de maior ordem, depois que a equação for escrita de forma a ser um polinômio em todas as derivadas (isto é, sem frações ou radicais envolvendo derivadas). O grau está definido apenas se a equação for polinomial nas derivadas; se houver funções transcendentes (como
, , exponencial) aplicadas a derivadas, o grau pode não estar definido. - No nosso caso a derivada de maior ordem é
. A equação escrita é
Aqui
aparece apenas à primeira potência (ou seja, linearmente), e a função
atua sobre
, não sobre
. Não há frações nem radicais envolvendo
. Portanto a equação é polinomial nas derivadas e o expoente de
é
.
Assim o grau da equação é
.
Passo 5
Observações complementares e exemplos rápidos para fixar a ideia.
- Se a equação tivesse aparecido algo como
(função trigonométrica aplicada à derivada de primeira ordem), por exemplo
então a equação não seria polinomial nas derivadas (porque
age sobre
), e o grau não estaria definido.
- Se a equação fosse
, então a ordem seria e o grau seria (porque o maior termo em aparece como ).
Resposta
EDO (equação diferencial ordinária)
Ordem:
Grau:
Ordem:
Grau: