Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
7. y^{\prime \prime}+\cos (y)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação
y''+\cos(y)=0.
O que é pedido:
  • Determinar se é uma equação diferencial ordinária (EDO) ou parcial (EDP).
  • Determinar a ordem da equação.
  • Determinar o grau da equação.
Observação: vou assumir que y é função de uma única variável independente (por exemplo y=y(x)), porque o enunciado não dá várias variáveis independentes. Se y dependesse de várias variáveis, a classificação poderia mudar para EDP — vou comentar esse ponto mais adiante.

Passo 2

O que significa ser EDO ou EDP e como identificar aqui.
  • Definição simples: uma equação diferencial é dita ordinária (EDO) quando a função incógnita depende de apenas uma variável independente (por exemplo y=y(x)). É parcial (EDP) quando a incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes (por exemplo u(x,t)) e aparecem derivadas parciais.
  • Na equação dada aparece apenas a notação y e derivadas simples em relação a uma variável (o apóstrofo em y'' indica derivada ordinária de segunda ordem). Não há derivadas parciais nem múltiplas variáveis independentes explicitadas.
Portanto, sob a suposição natural y=y(x), a equação é uma EDO.

Passo 3

O que é ordem de uma equação diferencial e como encontrar aqui.
  • Definição: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada que aparece na equação. Ou seja, procura-se a derivada de ordem mais alta presente.
  • Na equação dada a maior derivada explícita é y'', que é a derivada de segunda ordem.
Logo a ordem da equação é 2.

Passo 4

O que é grau de uma equação diferencial e a verificação para este caso.
  • Definição detalhada e importante: o grau de uma equação diferencial é o expoente (potência) do termo que contém a derivada de maior ordem, depois que a equação for escrita de forma a ser um polinômio em todas as derivadas (isto é, sem frações ou radicais envolvendo derivadas). O grau está definido apenas se a equação for polinomial nas derivadas; se houver funções transcendentes (como \sin, \cos, exponencial) aplicadas a derivadas, o grau pode não estar definido.
  • No nosso caso a derivada de maior ordem é y''. A equação escrita é
y''+\cos(y)=0.
Aqui y'' aparece apenas à primeira potência (ou seja, linearmente), e a função \cos atua sobre y, não sobre y''. Não há frações nem radicais envolvendo y''. Portanto a equação é polinomial nas derivadas e o expoente de y'' é 1.
Assim o grau da equação é 1.

Passo 5

Observações complementares e exemplos rápidos para fixar a ideia.
  • Se a equação tivesse aparecido algo como \sin(y') (função trigonométrica aplicada à derivada de primeira ordem), por exemplo
y''+\sin(y')=0,
então a equação não seria polinomial nas derivadas (porque \sin age sobre y'), e o grau não estaria definido.
  • Se a equação fosse (y'')^3+y'=0, então a ordem seria 2 e o grau seria 3 (porque o maior termo em y'' aparece como (y'')^3).

Resposta

EDO (equação diferencial ordinária)
Ordem: 2
Grau: 1

Exercícios relacionados