Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: é uma integral de função racional cujo denominador é o polinômio quadrático
. A tarefa é encontrar uma primitiva (integral indefinida) dessa função, i.e., uma função
tal que
, mais a constante de integração.
Passo 2
Observação algébrica útil: vamos tentar simplificar o denominador. Calculemos o quadrado de
:
Portanto o denominador é exatamente um quadrado perfeito e podemos reescrever a integranda como
Passo 3
Escolha do método: quando o denominador é uma função linear elevada a uma potência (aqui
), a técnica natural é a substituição simples
essa função linear. Explico a ideia da substituição:
- A substituição
serve para transformar uma integral em numa integral mais simples em . - Calcula-se
e substitui-se por , trocando toda a expressão para a variável . - Depois integra-se em
usando regras básicas (como a regra de potência) e, por fim, volta-se para .
Aqui
é uma escolha óbvia porque aparece no denominador.
Passo 4
Façamos a substituição. Defina
Derivando, obtemos
Substituindo na integral:
Agora usamos a regra de potência para integrais: para
,
No nosso caso
, logo
Multiplicando pelo fator
,
Passo 5
Voltando para
(substituição inversa
):
Passo 6
Checagem rápida por diferenciação (para garantir que não houve erro): escrevendo a primitiva como
e derivando,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.