6{ }^{\text {a) }} Calcule as integrais a seguir usando técnicas de integração por substituição ou por partes:
\int \frac{1}{1+4 x+4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{1+4x+4x^{2}}\,dx.
Informações dadas: é uma integral de função racional cujo denominador é o polinômio quadrático 1+4x+4x^{2}. A tarefa é encontrar uma primitiva (integral indefinida) dessa função, i.e., uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{1+4x+4x^{2}}, mais a constante de integração.

Passo 2

Observação algébrica útil: vamos tentar simplificar o denominador. Calculemos o quadrado de 2x+1:
(2x+1)^{2} = 4x^{2}+4x+1.
Portanto o denominador é exatamente um quadrado perfeito e podemos reescrever a integranda como
\frac{1}{1+4x+4x^{2}} = \frac{1}{(2x+1)^{2}}.

Passo 3

Escolha do método: quando o denominador é uma função linear elevada a uma potência (aqui (2x+1)^{2}), a técnica natural é a substituição simples u = essa função linear. Explico a ideia da substituição:
  • A substituição u=g(x) serve para transformar uma integral em x numa integral mais simples em u.
  • Calcula-se du = g'(x)\,dx e substitui-se dx por du/g'(x), trocando toda a expressão para a variável u.
  • Depois integra-se em u usando regras básicas (como a regra de potência) e, por fim, volta-se para x.
Aqui g(x)=2x+1 é uma escolha óbvia porque aparece no denominador.

Passo 4

Façamos a substituição. Defina
u = 2x+1.
Derivando, obtemos
du = 2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral:
\int \frac{1}{(2x+1)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du.
Agora usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso n=-2, logo
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1}+C = -u^{-1}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2},
\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\bigl(-u^{-1}\bigr)+C = -\frac{1}{2}u^{-1}+C.

Passo 5

Voltando para x (substituição inversa u=2x+1):
-\frac{1}{2}u^{-1}+C = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u}+C = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2x+1}+C = -\frac{1}{2(2x+1)}+C.

Passo 6

Checagem rápida por diferenciação (para garantir que não houve erro): escrevendo a primitiva como F(x)=-\dfrac{1}{2}(2x+1)^{-1} e derivando,
F'(x) = -\frac{1}{2}\cdot(-1)(2x+1)^{-2}\cdot 2 = (2x+1)^{-2} = \frac{1}{(2x+1)^{2}},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{2(2x+1)}+C

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