Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
9. x y^{\prime \prime \prime}-y y^{\prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x\,y^{\prime\prime\prime}-y\,y^{\prime\prime}=0
e pede para determinar, para essa equação, o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau. Vou listar claramente o que foi dado:
  • A equação envolve a função y e derivadas de y em relação a uma única variável independente (implicitamente x).
  • As derivadas que aparecem explicitamente são y^{\prime\prime\prime} e y^{\prime\prime}.
  • O objetivo é classificar tipo, ordem e grau.

Passo 2

O que significa ser EDO ou EDP? Vou explicar de forma bem simples e com exemplos:
  • Uma equação é uma EDO (equação diferencial ordinária) quando há derivadas de uma função em relação a apenas uma variável independente. Exemplo: \displaystyle y'' + y = 0 é uma EDO porque derivações são em relação a uma só variável (geralmente x).
  • Uma equação é uma EDP (equação diferencial parcial) quando envolve derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis independentes. Exemplo: \displaystyle u_{t} = c^2 u_{xx} é uma P.D.E. porque há derivadas parciais em t e x.
Dica prática: se aparecem símbolos como \partial ou derivadas com subscritos em múltiplas variáveis (ex.: u_x, u_y), provavelmente é P.D.E.; se só aparecem primos y', y'', etc., é O.D.E.

Passo 3

O que é a ordem de uma equação diferencial?
  • A ordem é o maior índice de derivada que aparece na equação.
  • Por exemplo: em \displaystyle y^{(4)}+3y''-y=0 a ordem é 4 porque a derivada de ordem mais alta é y^{(4)}.
Vou explicar como identificar sem erro: liste todas as derivadas que aparecem e escolha a de maior ordem.

Passo 4

O que é o grau de uma equação diferencial?
  • O grau é o expoente do maior derivado quando a equação foi escrita como um polinômio em todas as derivadas, sem frações, raízes ou funções transcendentes envolvendo derivadas.
  • Regras importantes:
    • Primeiro, reescrever a equação de modo que não haja frações ou potências fracionárias envolvendo derivadas; se isso não for possível ou se o maior derivado estiver dentro de uma função transcendental (por exemplo \sin(y'')), diz-se que o grau não está definido.
    • Depois de escrita como polinômio em y^{(n)}, o grau é o expoente de y^{(n)} no termo de maior ordem.
  • Exemplos:
    • \displaystyle (y'')^2 + y' - 1 = 0 tem ordem 2 e grau 2 porque o maior derivado y'' aparece elevado ao quadrado.
    • \displaystyle \sin(y'') + y = 0 tem ordem 2 mas grau não definido, porque y'' aparece dentro de \sin(\cdot).

Passo 5

Aplicando tudo isso à equação dada. Primeiro identificar se é EDO ou EDP:
  • A notação usa primos: y^{\prime\prime\prime} e y^{\prime\prime}, isto é típico de derivadas ordinárias em relação a uma única variável x.
  • Não há derivadas parciais nem múltiplas variáveis independentes explícitas.
    Conclusão: a equação é uma EDO (equação diferencial ordinária).

Passo 6

Determinar a ordem. Liste as derivadas que aparecem:
  • Aparecem \,y^{\prime\prime\prime}\, (terceira derivada) e \,y^{\prime\prime}\, (segunda derivada).
  • A maior ordem entre elas é 3.
    Conclusão: a ordem da equação é 3.

Passo 7

Determinar o grau. Primeiro verificar se a equação está escrita como um polinômio em derivadas:
  • A equação é \displaystyle x\,y^{\prime\prime\prime}-y\,y^{\prime\prime}=0.
  • Aqui o maior derivado \,y^{\prime\prime\prime}\, aparece multiplicado por x (função da variável independente) com expoente 1.
  • Não há potências fracionárias, raízes ou funções transcendentes envolvendo \,y^{\prime\prime\prime}\,.
  • Portanto a equação já é um polinômio em termos das derivadas e o expoente de y^{\prime\prime\prime} é 1.
    Conclusão: o grau da equação é 1.

Passo 8

Resumo final (rápido e direto), lembrando o raciocínio:
  • Tipo: por usar derivadas ordinais em relação a uma única variável, é EDO.
  • Ordem: o maior índice de derivada é 3, logo ordem 3.
  • Grau: o maior derivado aparece com expoente 1 em forma polinomial, logo grau 1.

Resposta

EDO, ordem 3, grau 1

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