Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
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Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para determinar, para essa equação, o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau. Vou listar claramente o que foi dado:
- A equação envolve a função
e derivadas de em relação a uma única variável independente (implicitamente ). - As derivadas que aparecem explicitamente são
e . - O objetivo é classificar tipo, ordem e grau.
Passo 2
O que significa ser EDO ou EDP? Vou explicar de forma bem simples e com exemplos:
- Uma equação é uma EDO (equação diferencial ordinária) quando há derivadas de uma função em relação a apenas uma variável independente. Exemplo:
é uma EDO porque derivações são em relação a uma só variável (geralmente ). - Uma equação é uma EDP (equação diferencial parcial) quando envolve derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis independentes. Exemplo:
é uma P.D.E. porque há derivadas parciais em e .
Dica prática: se aparecem símbolos como
ou derivadas com subscritos em múltiplas variáveis (ex.:
), provavelmente é P.D.E.; se só aparecem primos
,
, etc., é O.D.E.
Passo 3
O que é a ordem de uma equação diferencial?
- A ordem é o maior índice de derivada que aparece na equação.
- Por exemplo: em
a ordem é porque a derivada de ordem mais alta é .
Vou explicar como identificar sem erro: liste todas as derivadas que aparecem e escolha a de maior ordem.
Passo 4
O que é o grau de uma equação diferencial?
- O grau é o expoente do maior derivado quando a equação foi escrita como um polinômio em todas as derivadas, sem frações, raízes ou funções transcendentes envolvendo derivadas.
- Regras importantes:
- Primeiro, reescrever a equação de modo que não haja frações ou potências fracionárias envolvendo derivadas; se isso não for possível ou se o maior derivado estiver dentro de uma função transcendental (por exemplo
), diz-se que o grau não está definido. - Depois de escrita como polinômio em
, o grau é o expoente de no termo de maior ordem.
- Primeiro, reescrever a equação de modo que não haja frações ou potências fracionárias envolvendo derivadas; se isso não for possível ou se o maior derivado estiver dentro de uma função transcendental (por exemplo
- Exemplos:
-
tem ordem e grau porque o maior derivado aparece elevado ao quadrado. -
tem ordem mas grau não definido, porque aparece dentro de .
-
Passo 5
Aplicando tudo isso à equação dada. Primeiro identificar se é EDO ou EDP:
- A notação usa primos:
e , isto é típico de derivadas ordinárias em relação a uma única variável . - Não há derivadas parciais nem múltiplas variáveis independentes explícitas.
Conclusão: a equação é uma EDO (equação diferencial ordinária).
Passo 6
Determinar a ordem. Liste as derivadas que aparecem:
- Aparecem
(terceira derivada) e (segunda derivada). - A maior ordem entre elas é
.
Conclusão: a ordem da equação é.
Passo 7
Determinar o grau. Primeiro verificar se a equação está escrita como um polinômio em derivadas:
- A equação é
. - Aqui o maior derivado
aparece multiplicado por (função da variável independente) com expoente . - Não há potências fracionárias, raízes ou funções transcendentes envolvendo
. - Portanto a equação já é um polinômio em termos das derivadas e o expoente de
é .
Conclusão: o grau da equação é.
Passo 8
Resumo final (rápido e direto), lembrando o raciocínio:
- Tipo: por usar derivadas ordinais em relação a uma única variável, é EDO.
- Ordem: o maior índice de derivada é
, logo ordem . - Grau: o maior derivado aparece com expoente
em forma polinomial, logo grau .
Resposta
EDO, ordem
, grau