Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
10.
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Passo 1
O enunciado pede que, para a equação diferencial dada, se determine:
- o tipo (se é uma equação diferencial ordinária —
— ou uma equação diferencial parcial — ); - a ordem;
- o grau.
A equação fornecida é
Informações relevantes dadas no enunciado:
- aparecem derivadas de
indicadas por e ; - os coeficientes são funções de
(por exemplo e ); - não há derivadas parciais nem outras variáveis independentes explícitas.
Passo 2
Decidir o tipo (EDO ou EDP).
Explicação didática:
- Uma equação é uma equação diferencial ordinária (
) quando a função incógnita depende de uma única variável independente e aparecem derivadas ordinárias (por exemplo , , ). - É uma equação diferencial parcial (
) quando a função incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes e aparecem derivadas parciais (por exemplo , ).
Aplicando ao caso: na equação aparece
e
, notações de derivadas ordinárias em relação a uma única variável (presumivelmente
). Não há derivadas parciais nem outras variáveis independentes. Logo é uma equação do tipo
.
Passo 3
Determinar a ordem.
Explicação didática:
- A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada é
, a ordem é .
Aplicando ao caso: a maior derivada presente é
. Portanto a ordem é
.
Passo 4
Determinar o grau.
Explicação didática do que é grau:
- O grau de uma equação diferencial é o expoente (grau) do maior derivada quando a equação está escrita como um polinômio em todas as derivadas. Para definir o grau corretamente, primeiro é necessário que a equação seja polinomial em todas as derivadas: não pode haver derivadas dentro de funções transcendentes (como sen, exp, log), nem expoentes fracionários, nem denominadores envolvendo derivadas. Se houver tais coisas, é preciso manipular a equação (por exemplo eliminar frações ou radicais) quando possível; se não for possível, o grau não está definido.
- Exemplos rápidos: em
o grau é . Em o grau não é definido (aparece radiciação da derivada).
Aplicando ao caso: a equação
é já um polinômio nas derivadas de
: as derivadas
e
aparecem com expoente
(não há raízes, frações ou funções das derivadas). O maior derivada é
e ela aparece com potência
. Portanto o grau é
.
Passo 5
Observação final e resposta resumida: a equação é uma EDO de ordem
e grau
. Força aí nos estudos — sabendo o que procurar (tipo pela notação das derivadas, ordem pelo maior índice, grau pelo expoente da maior derivada quando polinomial) você resolve essas perguntas bem rápido na prova.
Resposta
Tipo:
Ordem:
Grau:
Ordem:
Grau: