Para cada equação diferencial abaixo, determine o tipo (EDO ou EDP), a ordem e o grau.
10. x^{3} y^{(5)}+x y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado pede que, para a equação diferencial dada, se determine:
  • o tipo (se é uma equação diferencial ordinária — \text{EDO} — ou uma equação diferencial parcial — \text{EDP});
  • a ordem;
  • o grau.
A equação fornecida é
x^{3} y^{(5)} + x y^{\prime} - y = 0.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • aparecem derivadas de y indicadas por y^{(5)} e y^{\prime};
  • os coeficientes são funções de x (por exemplo x^{3} e x);
  • não há derivadas parciais nem outras variáveis independentes explícitas.

Passo 2

Decidir o tipo (EDO ou EDP).
Explicação didática:
  • Uma equação é uma equação diferencial ordinária ( \text{EDO}) quando a função incógnita depende de uma única variável independente e aparecem derivadas ordinárias (por exemplo y', y'', y^{(n)}).
  • É uma equação diferencial parcial ( \text{EDP}) quando a função incógnita depende de duas ou mais variáveis independentes e aparecem derivadas parciais (por exemplo \partial u/\partial x, \partial^2 u/\partial x \partial y).
Aplicando ao caso: na equação aparece y^{(5)} e y', notações de derivadas ordinárias em relação a uma única variável (presumivelmente x). Não há derivadas parciais nem outras variáveis independentes. Logo é uma equação do tipo \text{EDO}.

Passo 3

Determinar a ordem.
Explicação didática:
  • A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada é y^{(3)}, a ordem é 3.
Aplicando ao caso: a maior derivada presente é y^{(5)}. Portanto a ordem é 5.

Passo 4

Determinar o grau.
Explicação didática do que é grau:
  • O grau de uma equação diferencial é o expoente (grau) do maior derivada quando a equação está escrita como um polinômio em todas as derivadas. Para definir o grau corretamente, primeiro é necessário que a equação seja polinomial em todas as derivadas: não pode haver derivadas dentro de funções transcendentes (como sen, exp, log), nem expoentes fracionários, nem denominadores envolvendo derivadas. Se houver tais coisas, é preciso manipular a equação (por exemplo eliminar frações ou radicais) quando possível; se não for possível, o grau não está definido.
  • Exemplos rápidos: em (y'')^3 + y = 0 o grau é 3. Em \sqrt{y''} + y = 0 o grau não é definido (aparece radiciação da derivada).
Aplicando ao caso: a equação
x^{3} y^{(5)} + x y^{\prime} - y = 0
é já um polinômio nas derivadas de y: as derivadas y^{(5)} e y' aparecem com expoente 1 (não há raízes, frações ou funções das derivadas). O maior derivada é y^{(5)} e ela aparece com potência 1. Portanto o grau é 1.

Passo 5

Observação final e resposta resumida: a equação é uma EDO de ordem 5 e grau 1. Força aí nos estudos — sabendo o que procurar (tipo pela notação das derivadas, ordem pelo maior índice, grau pelo expoente da maior derivada quando polinomial) você resolve essas perguntas bem rápido na prova.

Resposta

Tipo: \text{EDO}
Ordem: 5
Grau: 1

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