Para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
5.
5.
Passo 1
Vamos resumir: a equação diferencial é
, que é um caso da equação de Hermite em torno do ponto ordinário
. Queremos duas soluções independentes em série de potências.
Passo 2
Assumimos a forma em série de potências
logo
Passo 3
Substituindo na equação e recolhendo termos de
obtemos
ou seja
Passo 4
Para separar as duas soluções, olhamos os índices pares e ímpares. Se escolhermos
e
, para
a recorrência dá
e todos os termos superiores ímpares também serão zero. Assim ficamos com a solução ímpar
Tomando
, temos
.
Passo 5
Para a solução par, fixamos
e
. Calculando alguns termos:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
E assim por diante.
Passo 6
Isso nos dá a série par
que, junto com
, forma um par de soluções linearmente independentes.
Resposta
Duas soluções linearmente independentes em série de potências em torno de
são: