Para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x=0.
5. y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0

Passo 1

Vamos resumir: a equação diferencial é y'' - 2x,y' + 2y = 0, que é um caso da equação de Hermite em torno do ponto ordinário x=0. Queremos duas soluções independentes em série de potências.

Passo 2

Assumimos a forma em série de potências
y = sumn=0^infty an x^n,
logo
y' = sumn=0^infty n,an x^n-1,
y'' = sumn=0^infty n(n-1),an x^n-2

Passo 3

Substituindo na equação e recolhendo termos de x^n obtemos
(n+2)(n+1)an+2 -2n an +2an = 0
ou seja
an+2 = 2n - 2(n+2)(n+1),an

Passo 4

Para separar as duas soluções, olhamos os índices pares e ímpares. Se escolhermos a0=0 e a1neq0, para n=1 a recorrência dá a3=0 e todos os termos superiores ímpares também serão zero. Assim ficamos com a solução ímpar
y2(x) = a1 x
Tomando a1=1, temos y2(x)=x.

Passo 5

Para a solução par, fixamos a0=1 e a1=0. Calculando alguns termos:
  • Para n=0: a2 = -1.
  • Para n=2: a4 = -tfrac16.
  • Para n=4: a6 = tfrac130.
    E assim por diante.

Passo 6

Isso nos dá a série par
y1(x) = 1 - x^2 - x^46 + x^630 + cdots
que, junto com y2(x)=x, forma um par de soluções linearmente independentes.

Resposta

Duas soluções linearmente independentes em série de potências em torno de x=0 são:
y1(x) = 1 - x^2 - x^46 + x^630 + cdots,
y2(x) = x

Exercícios relacionados