Resolva a equação diferencial dada.
3. x y^prime prime+y^prime=0

Passo 1

A equação diferencial
x y^primeprime + y^prime = 0
é linear homogênea de segunda ordem. Vamos usar a substituição p(x)=y'(x) para reduzi-la a uma equação de primeira ordem em p.

Passo 2

Com p=y', temos y''=dpdx. Substituindo na equação, fica
x dpdx + p = 0
essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para p(x).

Passo 3

Podemos resolver por separação de variáveis. Escrevendo
dpdx = -px
separamos as variáveis:
dpp = -dxx
Integrando ambos os lados, obtemos
ln|p| = -ln|x| + C1.

Passo 4

Exponentiando, temos
p = e^-ln|x| + C1 = C2 x^-1
com C2 = e^C1. Assim, y' = C2 x^-1.

Passo 5

Agora integramos y' = C2 x^-1:
y(x) = integral C2 x^-1 , dx = C2 ln|x| + C3
sendo C3 mais uma constante de integração.

Passo 6

Portanto, renomeando as constantes arbitrárias como C1 e C2, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 ln|x| + C2.

Resposta

y(x) = C1 ln|x| + C2

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