Nos itens a seguir, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
e
em torno das retas especificadas. Você pode decidir qual dos dois métodos utilizados você deve usar.
do eixo
do eixo
Passo 1
A gente tem a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas
(reta) e
(parábola) e queremos girar isso em torno do eixo
. O conteúdo principal aqui é cálculo de volume por cascos cilíndricos, que usa a fórmula
.
Passo 2
Primeiro, encontramos onde as curvas se interceptam resolvendo
. Isso dá
, ou seja,
e
. Então o intervalo de integração é de
até
.
Passo 3
O método dos cascos diz que, para rotação em torno do eixo
, cada casquinho em
tem raio
e altura igual à diferença entre a curva de cima e a de baixo:
Passo 4
Montamos o volume como
Passo 5
Bastou calcular a integral: