Nos itens a seguir, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=x e y=2 x-x^2 em torno das retas especificadas. Você pode decidir qual dos dois métodos utilizados você deve usar.
do eixo y

Passo 1

A gente tem a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x (reta) e y=2x - x^2 (parábola) e queremos girar isso em torno do eixo y. O conteúdo principal aqui é cálculo de volume por cascos cilíndricos, que usa a fórmula V=2piintegrala^b(raio)(a.

Passo 2

Primeiro, encontramos onde as curvas se interceptam resolvendo x = 2x - x^2. Isso dá x^2 - x = 0, ou seja, x=0 e x=1. Então o intervalo de integração é de x=0 até x=1.

Passo 3

O método dos cascos diz que, para rotação em torno do eixo y, cada casquinho em x tem raio r=x e altura igual à diferença entre a curva de cima e a de baixo:
a

Passo 4

Montamos o volume como
V = 2piintegral0^1 xl(x - x^2r),dx = 2piintegral0^1(x^2 - x^3),dx

Passo 5

Bastou calcular a integral:
2pil[tfracx^33 - tfracx^44r]0^1 = 2pil(tfrac13 - tfrac14r) = 2picdottfrac112 = pi6

Resposta

V = pi6

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