Resolva a equação diferencial dada usando variaçāo dos parâmetros.
32. x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=x^4-e^x

Passo 1

A equação é de segunda ordem não homogênea do tipo Euler (Cauchy–Euler) e pede para usar variação de parâmetros. Vamos precisar resolver primeiro a parte homogênea (Euler) e depois aplicar variação de parâmetros para encontrar uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos a equação associada:
x^2y''-2xy'+2y=0
Nesse tipo de equação usamos o ansatz y=x^m. Substituindo:
x^2(m(m-1)x^m-2)-2x(mx^m-1)+2x^m=0
Simplificando o fator x^m (não nulo) dá a equação indicial:
m(m-1)-2m+2=0
Ou seja
m^2-3m+2=0
As raízes são m=1 e m=2. Logo a solução homogênea é
yh(x)=C1x+C2x^2

Passo 3

Agora aplicamos variação de parâmetros. Primeiro dividimos a equação original por x^2 para ficar na forma padrão
y''-2xy'+2x^2y=x^2-e^xx^2
Chamamos
f(x)=x^2-e^xx^2, y1=x, y2=x^2
O Wronskiano é
W=y1y2'-y1'y2=xcdot2x -1cdot x^2=x^2

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros nos dão
u1'=-y2f(x)W=-x^2l(x^2-tfrace^xx^2r)x^2=-x^2+e^xx^2,
u2'=y1f(x)W=xl(x^2-tfrace^xx^2r)x^2=x-e^xx^3

Passo 5

Integramos para obter nu1,nu2:
nu1(x)=-integral x^2,dx +integral e^xx^2,dx=-x^33+integral e^xx^2,dx,
nu2(x)=integral x,dx -integral e^xx^3,dx=x^22-integral e^xx^3,dx

Passo 6

A solução particular vem de
yp=nu1(x)y1(x)+nu2(x)y2(x)
ou seja
yp=-x^33,x +xintegral e^xx^2,dx+x^22,x^2-x^2integral e^xx^3,dx
Simplificando o termo polinomial:
-x^43+x^42=x^46
Assim a solução geral é
y(x)=C1x+C2x^2+x^46+xintegral e^xx^2,dx -x^2integral e^xx^3,dx

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x{2}+\frac{x{4}}{6}+x\int \frac{e{x}}{x{2}},dx -x^{2}\int \frac{e{x}}{x{3}},dx

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