Resolva a equação diferencial dada usando variaçāo dos parâmetros.
32.
32.
Passo 1
A equação é de segunda ordem não homogênea do tipo Euler (Cauchy–Euler) e pede para usar variação de parâmetros. Vamos precisar resolver primeiro a parte homogênea (Euler) e depois aplicar variação de parâmetros para encontrar uma particular.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos a equação associada:
Nesse tipo de equação usamos o ansatz
. Substituindo:
Simplificando o fator
(não nulo) dá a equação indicial:
Ou seja
As raízes são
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora aplicamos variação de parâmetros. Primeiro dividimos a equação original por
para ficar na forma padrão
Chamamos
O Wronskiano é
Passo 4
As fórmulas de variação de parâmetros nos dão
Passo 5
Integramos para obter
:
Passo 6
A solução particular vem de
ou seja
Simplificando o termo polinomial:
Assim a solução geral é
Resposta
y(x)=C_{1}x+C_{2}x{2}+\frac{x{4}}{6}+x\int \frac{e{x}}{x{2}},dx -x^{2}\int \frac{e{x}}{x{3}},dx