para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em torno do ponto ordinário
, a equação diferencial de segunda ordem
Usaremos o método da série de potências, assumindo uma solução da forma
Passo 2
Vamos calcular as derivadas em série e inserir na equação. Temos
Então
Passo 3
Reindexando o termo em
por
e somando todas as potências
, obtemos para cada
:
Note que
logo a relação de recorrência é
Passo 4
A recorrência
diz que todos os coeficientes de ordem par são iguais a
e todos os de ordem ímpar são iguais a
. Então a solução geral em série fica
Essas duas séries são linearmente independentes.
Passo 5
Identificando as duas soluções fundamentais em série de potências, temos
Resposta
Duas soluções linearmente independentes em torno de
são