para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x=0.
(x^2-1) y^prime prime+4 x y^prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em torno do ponto ordinário x=0, a equação diferencial de segunda ordem
l(x^2-1r)y''+4x,y'+2y=0
Usaremos o método da série de potências, assumindo uma solução da forma
y=sumn=0^inftyanx^n

Passo 2

Vamos calcular as derivadas em série e inserir na equação. Temos
y=sumn=0^inftyanx^n, y'=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2
Então
x^2y''=sumn=2^inftyn(n-1),anx^n, -y''=-sumn=2^inftyn(n-1),anx^n-2, 4x,y'=4sumn=1^inftyn,anx^n, 2y=2sumn=0^inftyanx^n

Passo 3

Reindexando o termo em -y'' por k=n-2 e somando todas as potências x^k, obtemos para cada k>=0:
k(k-1)ak+4k,ak+2ak ;-;(k+2)(k+1)ak+2=0
Note que
k(k-1)+4k+2 = k^2+3k+2 = (k+2)(k+1),
logo a relação de recorrência é
(k+2)(k+1),ak-(k+2)(k+1),ak+2=0 Longrightarrow ak+2=ak

Passo 4

A recorrência ak+2=ak diz que todos os coeficientes de ordem par são iguais a a0 e todos os de ordem ímpar são iguais a a1. Então a solução geral em série fica
y = a0summ=0^inftyx^2m ;+; a1summ=0^inftyx^2m+1
Essas duas séries são linearmente independentes.

Passo 5

Identificando as duas soluções fundamentais em série de potências, temos
y1(x)=summ=0^inftyx^2m=1+x^2+x^4+cdots, y2(x)=summ=0^inftyx^2m+1=x+x^3+x^5+cdots

Resposta

Duas soluções linearmente independentes em torno de x=0 são
y1(x)=summ=0^inftyx^2m, y2(x)=summ=0^inftyx^2m+1

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