Determine os pontos singulares da equação diferencial ordinária, e classifique-os como regular ou irregulares:
(1+x) x^2 y^prime prime-(1+2 x) x y^prime+(1+2 x) y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
(1+x),x^2,y'' ;-;(1+2x),x,y' ;+;(1+2x),y ;=;0
O objetivo é achar os pontos singulares (onde o coeficiente de y'' se anula) e classificá-los como regulares ou irregulares. Para isso, precisamos escrever a equação na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0
e aplicar os critérios de Pontos Singulares Regulares.

Passo 2

Dividimos tudo por (1+x),x^2 para obter
y'' - (1+2x),x(1+x),x^2,y' + 1+2x(1+x),x^2,y = 0
Logo,
P(x) = -1+2x(1+x),x, Q(x) = 1+2x(1+x),x^2

Passo 3

Os pontos singulares são as raízes de (1+x),x^2=0, ou seja:
x=0 e x=-1

Passo 4

Analisamos x0=0. Para ser singular regular é preciso que
,x,P(x) e ,x^2,Q(x) sejam analíticas em x=0.
Calculamos:
x,P(x) = -1+2x1+x, x^2,Q(x) = 1+2x1+x
Ambas as funções são claramente analíticas em x=0. Portanto x=0 é ponto singular regular.

Passo 5

Agora x0=-1. Defina t = x+1. Em torno de t=0:
P(x) = -1+2x(1+x),x = --1+2tt,(-1+t), Q(x) = 1+2x(1+x),x^2 = -1+2tt,(-1+t)^2
Verificamos
t,P(x) = --1+2t-1+t, t^2,Q(x) = t,-1+2t(-1+t)^2,
e ambas são analíticas em t=0. Logo x=-1 também é ponto singular regular.

Resposta

Os pontos singulares são x=0 e x=-1, e ambos são pontos singulares regulares.

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