Determine os pontos singulares da equação diferencial ordinária, e classifique-os como regular ou irregulares:
x(x-1) y^prime prime+(4 x-2) y^prime+2 y=0

Passo 1

Resumindo, temos a equação
x(x-1),y''+(4x-2),y'+2y=0
O conteúdo é a classificação de pontos singulares de uma EDO linear de segunda ordem. Para isso, vamos pôr a equação na forma padrão
y'' + P(x),y' + Q(x),y = 0,
identificar onde o coeficiente de y'' zera e checar se em cada ponto (x-x0)P(x) e (x-x0)^2Q(x) são analíticos (regular) ou não (irregular).

Passo 2

Divido toda a equação por x(x-1) para obter a forma padrão:
y'' + 4x-2x(x-1),y' + 2x(x-1),y = 0
Logo
P(x)=4x-2x(x-1), Q(x)=2x(x-1)

Passo 3

Os pontos singulares são as raízes do coeficiente de y'', isto é,
x=0 e x=1

Passo 4

Para facilitar a classificação, escrevemos P e Q em frações parciais:
P(x)=4x-2x(x-1) =2x+2x-1,
Q(x)=2x(x-1) =-2x+2x-1

Passo 5

Classificação em x=0:
x,P(x)=2 + 2xx-1, x^2,Q(x)=-2x + 2x^2x-1
Ambas são analíticas em x=0, logo x=0 é singular regular.

Passo 6

Classificação em x=1:
(x-1)P(x)=2 + 2(x-1)x, (x-1)^2Q(x)=2(x-1) - 2(x-1)^2x
Ambas são analíticas em x=1, logo x=1 é singular regular.

Passo 7

Concluímos que os únicos pontos singulares finitos são x=0 e x=1, e ambos são regulares.

Resposta

Os pontos singulares são x=0 e x=1, e ambos são singulares regulares.

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