Determine os pontos singulares da equação diferencial ordinária, e classifique-os como regular ou irregulares:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos singulares da EDO
O conteúdo aqui é a teoria de pontos singulares em equações lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos (i) reescrever em forma padrão, (ii) achar onde o coeficiente de
zera, e (iii) verificar as condições de ponto singular regular.
Passo 2
Dividimos toda a equação por
(supondo
) para obter a forma padrão
onde
Passo 3
Ponto singular finito é onde o coeficiente de
(isto é,
) se anula. Logo o único ponto singular finito é
Passo 4
Para ver se
é regular, aplicamos as condições:
deve ser analítica em
e
deve ser analítica em
.
Calculamos
Calculamos
ambas análiticas em
. Portanto
é ponto singular regular.
Passo 5
Para classificar o ponto no infinito, fazemos
e reescrevemos a EDO em
. A análise mostra que o coeficiente de
ganha um fator
e o equivalente de
em
tem polo de segunda ordem em
. Isso caracteriza
como ponto singular irregular.
Resposta
O único ponto singular finito é
, que é singular regular.
O ponto em é singular irregular.
O ponto em