Determine os pontos singulares da equação diferencial ordinária, e classifique-os como regular ou irregulares:
x y^prime prime+(1-2 x) y^prime+(x-1) y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos singulares da EDO
x,y''+(1-2x),y'+(x-1),y=0
O conteúdo aqui é a teoria de pontos singulares em equações lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos (i) reescrever em forma padrão, (ii) achar onde o coeficiente de y'' zera, e (iii) verificar as condições de ponto singular regular.

Passo 2

Dividimos toda a equação por x (supondo xneq0) para obter a forma padrão
y''+P(x),y'+Q(x),y=0,
onde
P(x)=1-2xx=1x-2,
Q(x)=x-1x=1-1x

Passo 3

Ponto singular finito é onde o coeficiente de y'' (isto é, x) se anula. Logo o único ponto singular finito é
x=0

Passo 4

Para ver se x=0 é regular, aplicamos as condições:
(x-0),P(x) deve ser analítica em 0 e
(x-0)^2,Q(x) deve ser analítica em 0.
Calculamos
(x),P(x)=1-2x, (x)^2,Q(x)=x^2l(1-1xr)=x^2-x,
ambas análiticas em x=0. Portanto x=0 é ponto singular regular.

Passo 5

Para classificar o ponto no infinito, fazemos x=1/t e reescrevemos a EDO em t. A análise mostra que o coeficiente de d^2y/dt^2 ganha um fator t^3 e o equivalente de P em t tem polo de segunda ordem em t=0. Isso caracteriza x=infty como ponto singular irregular.

Resposta

O único ponto singular finito é x=0, que é singular regular.
O ponto em x=infty é singular irregular.

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