Para cada equação, identifique:
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(i)
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial dada por $ t^{5} y^{(4)} - t^{3} y’’ + 6 y = 0 $. Nosso objetivo é:
a) Identificar a ordem da equação, as variáveis dependentes e independentes, além das constantes, e ver se tem alguma ambiguidade.
b) Verificar se a equação é linear, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não for linear, determinar se ela é autônoma.
Depois, vamos converter a equação para a forma normal, se necessário, e observar se há alguma restrição na conversão. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de equações diferenciais, como ordem, linearidade e forma normal.
Passo 2
a) Ordem, variáveis e constantes
Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. A ordem é determinada pelo maior derivado presente na equação. Olhando para $ t^{5} y^{(4)} - t^{3} y’’ + 6 y = 0 $, vemos que o maior derivado é $ y^{(4)} $, que é a quarta ordem.
Agora, as variáveis:
- Variável dependente: é a função que está sendo derivada, que no caso é $ y $.
- Variável independente: é a variável em relação à qual as derivadas são tomadas, que aqui é $ t $.
Constantes: na equação, os coeficientes que não dependem de $ y $ nem de $ t $. Aqui, os coeficientes são funções de $ t $, como $ t^{5} $ e $ t^{3} $, e o número 6. Não temos constantes puras, pois os coeficientes estão variando com $ t $.
Não há ambiguidades nessa identificação.
Passo 3
b) Linearidade, coeficientes constantes e homogeneidade
Agora, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se a função $ y $ e suas derivadas aparecem somente de primeira grau (não multiplicadas entre si ou elevadas a alguma potência). Na nossa equação $ t^{5} y^{(4)} - t^{3} y’’ + 6 y = 0 $, todas as derivadas de $ y $ estão na primeira potência e não são multiplicadas entre si. Então, a equação é linear.
Coeficientes constantes: os coeficientes multiplicando as derivadas de $ y $ são $ t^{5} $, $ t^{3} $ e 6. Como $ t^{5} $ e $ t^{3} $ dependem de $ t $, os coeficientes não são constantes.
Homogeneidade: uma equação linear é homogênea se todos os termos dependentes de $ y $ e suas derivadas somam zero, sem termos livres. Nossa equação é igual a zero, então ela é homogênea.
Passo 4
c) Equação não-linear e autônoma
Como já identificamos que a equação é linear, não precisamos verificar se é autônoma. A condição de ser autônoma se aplica a equações não-lineares, onde os coeficientes não dependem da variável independente. Mas nesse caso, já sabemos que a equação é linear.
Passo 5
Conversão para a forma normal
A forma normal de uma equação diferencial linear de ordem $ n $ é geralmente escrita como:
Onde $ a_i(t) $ são funções de $ t $ e $ g(t) $ é a função não homogênea (zero no caso homogêneo).
Vamos reescrever a equação dada:
Primeiro, vamos dividir toda a equação por $ t^{5} $ para isolar o termo $ y^{(4)} $:
Simplificando os termos:
Agora, a equação está na forma normal:
Restrições da conversão: ao dividir por $ t^{5} $, assumimos que $ t \neq 0 $, pois não podemos dividir por zero.
Resposta
A equação $ t^{5} y^{(4)} - t^{3} y’’ + 6 y = 0 $ é uma equação diferencial de quarta ordem, com $ y $ como variável dependente e $ t $ como variável independente. Ela é linear, homogênea e possui coeficientes não constantes. Ao converter para a forma normal, obtemos $ y^{(4)} - \frac{1}{t^{2}} y’’ + \frac{6}{t^{5}} y = 0 $, válida para $ t \neq 0 $.