Determine a resposta correta para o limite
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x y+1x^2+y^2+2
a. 0
b. 1raiz2
C. 12
d. Nāo existe o limite
e. infty

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite lim (x, y) longrightarrow(0,0) x y+1x^2+y^2+2. Esse exercício envolve limites de funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos entender como o comportamento da função muda conforme (x, y) se aproxima de (0,0). Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador xy + 1. Quando (x, y) se aproxima de (0,0), o termo xy tende a zero porque qualquer número multiplicado por zero é zero. Assim, xy + 1 fica próximo de 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador x^2 + y^2 + 2. Tanto x^2 quanto y^2 são sempre positivos ou zero. Quando (x, y) se aproxima de (0,0), x^2 + y^2 também tende a zero. Então, o denominador fica próximo de 2.

Passo 4

Com isso, a expressão completa fica:
xy + 1x^2 + y^2 + 2 approx 0 + 10 + 2 = 12
Isso significa que, à medida que (x, y) se aproxima de (0,0), a função se aproxima de 12.

Resposta

A alternativa correta é:
c. 12

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