Resolva, em R, a equação:
2 sen x|sen x|+3 sen x=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação 2 sin x |sin x| + 3 sin x = 2 em R. Aqui estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente a função seno. Para resolver essa equação, vamos precisar analisar os casos onde o seno de x é positivo ou negativo e utilizar a resolução de equações polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar sin x de y para facilitar a visualização. Assim, a equação fica:
2y|y| + 3y = 2

Passo 3

Agora, precisamos considerar dois casos diferentes para o valor de y:
  1. Caso 1: y >= 0
    Quando y é positivo ou zero, o valor absoluto |y| = y. Substituindo na equação:
    2y cdot y + 3y = 2 2y^2 + 3y - 2 = 0
    Essa é uma equação quadrática da forma ay^2 + by + c = 0. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
    y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
    Aqui, a = 2, b = 3 e c = -2. Calculando o discriminante ( De):
    De
    Então,
    y = -3 pm raiz254 y = -3 pm 54
    Isso nos dá duas soluções:
    y = 24 = 0,5 e y = -84 = -2
    Mas, como consideramos y >= 0, a única solução válida nesse caso é y = 0,5.
  2. Caso 2: y < 0
    Quando y é negativo, o valor absoluto |y| = -y. Substituindo na equação:
    2y(-y) + 3y = 2 -2y^2 + 3y = 2 -2y^2 + 3y - 2 = 0
    Multiplicando toda a equação por -1 para simplificar:
    2y^2 - 3y + 2 = 0
    Aplicando a fórmula de Bhaskara novamente:
    De
    Como o discriminante é negativo ( De), não há soluções reais nesse caso.

Passo 4

Com isso, a única solução real para y é y = 0,5. Lembrando que y = sin x, temos:
sin x = 0,5
As soluções para essa equação são os ângulos x tais que:
x = pi6 + 2kpi ou x = 5pi6 + 2kpi onde k in Z

Resposta

As soluções reais para a equação são:
x = pi6 + 2kpi ou x = 5pi6 + 2kpi com k in Z

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