Questão 2: EDO de Primeira Ordern
Considere a seguinte equação diferencial ordinária:
- (A) Resolva a equação diferencial.
Considere a seguinte equação diferencial ordinária:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem, que é do tipo
. A gente vai usar o método de separação de variáveis pra resolver isso. Basicamente, vamos tentar isolar
de um lado e
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. A ideia é colocar todos os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro. Então, dividimos ambos os lados da equação por
:
Isso fica assim:
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A integração é essencial pra resolver a EDO:
A integral de
é
e a integral de
é
, então temos:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 4
Para isolar
, a gente precisa “desfazer” o logaritmo natural. Fazemos isso aplicando a função exponencial nos dois lados da equação:
Podemos simplificar essa expressão lembrando que
é apenas uma constante (vamos chamar de
), então:
Como
é uma constante geral, podemos escrever:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.