Questão 2: EDO de Primeira Ordern
Considere a seguinte equação diferencial ordinária:
d yd x=x y
  • (A) Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem, que é do tipo dydx = x cdot y. A gente vai usar o método de separação de variáveis pra resolver isso. Basicamente, vamos tentar isolar y de um lado e x do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. A ideia é colocar todos os termos que envolvem y de um lado e os que envolvem x do outro. Então, dividimos ambos os lados da equação por y:
1y cdot dydx = x
Isso fica assim:
1y dy = x dx

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A integração é essencial pra resolver a EDO:
integral 1y dy = integral x dx
A integral de 1y dy é ln|y| e a integral de x dx é x^22, então temos:
ln|y| = x^22 + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, a gente precisa “desfazer” o logaritmo natural. Fazemos isso aplicando a função exponencial nos dois lados da equação:
y = e^x^22 + C
Podemos simplificar essa expressão lembrando que e^C é apenas uma constante (vamos chamar de K), então:
y = K cdot e^x^22
Como K é uma constante geral, podemos escrever:
y = C cdot e^x^22

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = C cdot e^,x^2/2
Onde C é uma constante arbitrária.

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