Para cada equação, identifique:
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(iii)
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre equações diferenciais! O que a gente precisa fazer é:
a) Identificar a ordem da equação, quais são as variáveis dependentes e independentes, e se tem alguma constante envolvida, além de notar possíveis ambiguidades.
b) Verificar se a equação é linear. Se for, ver se os coeficientes são constantes e se ela é homogênea.
c) Se não for linear, descobrir se a equação é autônoma.
Depois, vamos converter a equação para a forma normal, se ainda não estiver nessa forma, e apontar qualquer restrição que apareça nessa conversão.
A equação que vamos analisar é:
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada presente nela. Aqui, a derivada de segunda ordem,
, está presente, então a ordem é 2.
Passo 3
Agora, vamos ver quais são as variáveis envolvidas:
- Variável independente:
(o que está “independente” na equação). - Variável dependente:
(o que está “dependente” e queremos resolver). - Constantes: Não há constantes explícitas na equação, tudo depende de
e suas derivadas.
Passo 4
Vou falar sobre linearidade. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita de forma que todas as potências de
e de suas derivadas sejam de 1, e que não haja produtos entre elas.
Na nossa equação:
A presença da raiz quadrada envolvendo a derivada de primeira ordem,
, faz com que a equação seja não linear. Porque, se fosse linear, essa raiz não existiria e a derivada apareceria só na primeira potência.
Passo 5
Como a equação é não linear, vamos ver se ela é autônoma. Uma equação é autônoma se ela não depende explicitamente da variável independente, que aqui é
.
Na nossa equação, não vemos
aparecendo de forma direta. Então, ela é autônoma.
Passo 6
Agora, vamos converter a equação para a forma normal. A forma normal de uma equação diferencial de segunda ordem é expressar $ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} $ em termos de $ y $, $ \frac{d y}{d x} $, e possivelmente
.
Nossa equação já está quase nessa forma:
Então, já está na forma normal. Não há necessidade de fazer mais alterações, e portanto, não há restrições decorrentes da conversão.
Resposta
A equação dada já está na forma normal, não sendo necessário realizar nenhuma conversão adicional.