Para cada equação, identifique:
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(iii) d^2 yd x^2=raiz1+(d yd x)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício sobre equações diferenciais! O que a gente precisa fazer é:
a) Identificar a ordem da equação, quais são as variáveis dependentes e independentes, e se tem alguma constante envolvida, além de notar possíveis ambiguidades.
b) Verificar se a equação é linear. Se for, ver se os coeficientes são constantes e se ela é homogênea.
c) Se não for linear, descobrir se a equação é autônoma.
Depois, vamos converter a equação para a forma normal, se ainda não estiver nessa forma, e apontar qualquer restrição que apareça nessa conversão.
A equação que vamos analisar é:
d^2 yd x^2 = raiz1 + ( d yd x )^2

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a ordem da equação. A ordem de uma equação diferencial é dada pela maior derivada presente nela. Aqui, a derivada de segunda ordem, d^2 yd x^2, está presente, então a ordem é 2.

Passo 3

Agora, vamos ver quais são as variáveis envolvidas:
  • Variável independente: x (o que está “independente” na equação).
  • Variável dependente: y (o que está “dependente” e queremos resolver).
  • Constantes: Não há constantes explícitas na equação, tudo depende de y e suas derivadas.

Passo 4

Vou falar sobre linearidade. Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita de forma que todas as potências de y e de suas derivadas sejam de 1, e que não haja produtos entre elas.
Na nossa equação:
d^2 yd x^2 = raiz1 + ( d yd x )^2
A presença da raiz quadrada envolvendo a derivada de primeira ordem, d yd x, faz com que a equação seja não linear. Porque, se fosse linear, essa raiz não existiria e a derivada apareceria só na primeira potência.

Passo 5

Como a equação é não linear, vamos ver se ela é autônoma. Uma equação é autônoma se ela não depende explicitamente da variável independente, que aqui é x.
Na nossa equação, não vemos x aparecendo de forma direta. Então, ela é autônoma.

Passo 6

Agora, vamos converter a equação para a forma normal. A forma normal de uma equação diferencial de segunda ordem é expressar $ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} $ em termos de $ y $, $ \frac{d y}{d x} $, e possivelmente d^2 yd x^2 .
Nossa equação já está quase nessa forma:
y
Então, já está na forma normal. Não há necessidade de fazer mais alterações, e portanto, não há restrições decorrentes da conversão.

Resposta

A equação dada já está na forma normal, não sendo necessário realizar nenhuma conversão adicional.

Exercícios relacionados