Questão 3: EDO de Segunda Ordem - Homogénea Considere a seguinte equação diferencial homogenea:
- (B) Determine as constantes
e
utilizando as condições iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem homogênea:
O que precisamos fazer é encontrar as constantes $ A $ e $ B $ usando as condições iniciais dadas:
Para resolver isso, vamos seguir os passos para resolver equações diferenciais homogêneas de segunda ordem e aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, a gente assume uma solução da forma:
Onde $ r $ é uma constante que precisamos determinar. Vamos substituir essa forma na equação diferencial.
Passo 3
Calculando as derivadas de $ y $:
Substituindo na equação:
Podemos fatorar $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
Passo 4
Agora, resolvemos a equação característica:
Vamos fatorar:
Então, as raízes são $ r = 2 $ e $ r = 3 $.
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(1) = 4 $:
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada da solução geral:
Aplicando a segunda condição inicial $ y’(1) = 0 $:
Essa é a segunda equação.
Passo 8
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ A $ e $ B $.
Passo 9
Vamos usar o método da substituição ou da combinação. Aqui, vamos multiplicar a primeira equação por 2:
Agora, subtraímos a segunda equação:
Então:
Passo 10
Agora que temos $ B $, substituímos na primeira equação:
Resolvendo para $ A $:
Resposta
As constantes são $ A = \dfrac{12}{e^{2}} $ e $ B = -\dfrac{8}{e^{3}} $.