Questão 3: EDO de Segunda Ordem - Homogénea Considere a seguinte equação diferencial homogenea:
y^prime prime-5 y^prime+6 y=0
  • (B) Determine as constantes A e B utilizando as condições iniciais:
y(1)=4, y^prime(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem homogênea:
y'' - 5y' + 6y = 0
O que precisamos fazer é encontrar as constantes $ A $ e $ B $ usando as condições iniciais dadas:
A
Para resolver isso, vamos seguir os passos para resolver equações diferenciais homogêneas de segunda ordem e aplicar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Para isso, a gente assume uma solução da forma:
y = e^rt
Onde $ r $ é uma constante que precisamos determinar. Vamos substituir essa forma na equação diferencial.

Passo 3

Calculando as derivadas de $ y $:
y
Substituindo na equação:
y' = r e^rt e y'' = r^2 e^rt
Podemos fatorar $ e^{rt} $ (que nunca é zero):
r^2 e^rt - 5r e^rt + 6 e^rt = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação característica:
r^2 - 5r + 6 = 0
Vamos fatorar:
(r - 2)(r - 3) = 0
Então, as raízes são $ r = 2 $ e $ r = 3 $.

Passo 5

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = A e^2t + B e^3t
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(1) = 4 $:
y(1) = 4
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada da solução geral:
y'(t) = 2A e^2t + 3B e^3t
Aplicando a segunda condição inicial $ y’(1) = 0 $:
y'(1) = 0
Essa é a segunda equação.

Passo 8

Agora temos um sistema de equações:
4 = A e^2 + B e^3 0 = 2A e^2 + 3B e^3
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ A $ e $ B $.

Passo 9

Vamos usar o método da substituição ou da combinação. Aqui, vamos multiplicar a primeira equação por 2:
8 = 2A e^2 + 2B e^3
Agora, subtraímos a segunda equação:
8 - 0 = (2A e^2 + 2B e^3) - (2A e^2 + 3B e^3) implies 8 = -B e^3
Então:
B = -8e^3

Passo 10

Agora que temos $ B $, substituímos na primeira equação:
B
Resolvendo para $ A $:
4 = A e^2 + (-8e^3) e^3 implies 4 = A e^2 - 8

Resposta

As constantes são $ A = \dfrac{12}{e^{2}} $ e $ B = -\dfrac{8}{e^{3}} $.

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