Para cada equação, identifique:
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(v)
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(v)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação que você trouxe:
Primeiro, vamos entender o que a gente tem aqui. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem porque a derivada mais alta é
(segunda derivada de
em relação ao tempo, por exemplo). A gente vai precisar identificar algumas coisas sobre essa equação, como quais são as variáveis dependentes e independentes, se é linear ou não, e também converter para uma forma normal se necessário. Vamos por partes!
Passo 2
a) Ordem, variáveis dependentes e independentes, e constantes:
-
Ordem: Como mencionamos, essa é uma equação de segunda ordem porque a derivada mais alta é a segunda derivada de
, ou seja, . -
Variáveis Dependente e Independente:
- Variável Independente: Geralmente, em equações diferenciais, a variável independente é o tempo
. - Variável Dependente: Aqui,
é a variável dependente porque ela depende de .
- Variável Independente: Geralmente, em equações diferenciais, a variável independente é o tempo
-
Constantes: Não há constantes explícitas na equação além dos coeficientes numéricos como 1 e 3.
-
Ambiguidades: Não parece haver ambiguidades claras na identificação das variáveis ou constantes aqui.
Passo 3
b) Linearidade:
Vamos ver se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida
e suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou elevadas a potências diferentes de 1.
Olha só a nossa equação:
Temos um termo
, que é a derivada de
elevada ao quadrado. Isso já indica que a equação não é linear, pois temos a derivada
elevada ao quadrado.
Como não é linear, as perguntas sobre coeficientes constantes ou se é homogênea não se aplicam da mesma forma. Mas para saber se fosse linear:
- Coeficientes Constantes: Tecnicamente, os coeficientes seriam 1 (para
) e 1 (para ), que são constantes. - Homogênea: Se todos os termos dependem apenas de
e suas derivadas, sem termos livres, é homogênea. Aqui, como igual a zero, seria homogênea se fosse linear, mas a presença de já quebra isso.
Passo 4
c) Se não-linear: É autônoma?
Como já vimos que a equação não é linear, vamos verificar se ela é autônoma. Uma equação diferencial é autônoma se ela não depende explicitamente da variável independente, que neste caso é
.
Nossa equação:
Não há termos que dependam diretamente de
, apenas de
e suas derivadas. Então, sim, essa equação é autônoma.
Passo 5
Conversão para a forma normal:
A forma normal de uma equação diferencial de segunda ordem geralmente expressa a segunda derivada em termos das primeiras derivadas e da função original. Vamos rearranjar a nossa equação para isolar
.
Começamos com:
Vamos mover os outros termos para o outro lado:
Então, a forma normal da equação é:
Restrições decorrentes da conversão:
Ao converter para a forma normal, não impusemos nenhuma restrição adicional além daquelas já presentes na equação original. Porém, é importante notar que a presença do termo
pode implicar em comportamentos não lineares complexos na solução da equação.
Resposta
A equação diferencial dada é de segunda ordem, com
como variável dependente e
como independente. Não é linear por causa do termo
e é autônoma, pois não depende explicitamente de
. A forma normal da equação é: