Para cada equação, identifique:
a) ordem, as variáveis dep., indep. e constantes, notando ambiguidades.
b) Linearidade: caso sim, se tem coeficientes constantes e se é homogênea.
c) Se não-linear: é autônoma?
Converta cada equação à forma normal (se não estiver) identificando eventuais restrições decorrentes da conversão.
(v) ddotx-(1-dotx^23) dotx+x=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação que você trouxe:
ddotx - (1 - dotx^23)dotx + x = 0
Primeiro, vamos entender o que a gente tem aqui. Essa é uma equação diferencial de segunda ordem porque a derivada mais alta é ddotx (segunda derivada de x em relação ao tempo, por exemplo). A gente vai precisar identificar algumas coisas sobre essa equação, como quais são as variáveis dependentes e independentes, se é linear ou não, e também converter para uma forma normal se necessário. Vamos por partes!

Passo 2

a) Ordem, variáveis dependentes e independentes, e constantes:
  • Ordem: Como mencionamos, essa é uma equação de segunda ordem porque a derivada mais alta é a segunda derivada de x, ou seja, ddotx.
  • Variáveis Dependente e Independente:
    • Variável Independente: Geralmente, em equações diferenciais, a variável independente é o tempo t.
    • Variável Dependente: Aqui, x é a variável dependente porque ela depende de t.
  • Constantes: Não há constantes explícitas na equação além dos coeficientes numéricos como 1 e 3.
  • Ambiguidades: Não parece haver ambiguidades claras na identificação das variáveis ou constantes aqui.

Passo 3

b) Linearidade:
Vamos ver se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida x e suas derivadas aparecem de forma linear, ou seja, sem serem multiplicadas entre si ou elevadas a potências diferentes de 1.
Olha só a nossa equação:
ddotx - (1 - dotx^23)dotx + x = 0
Temos um termo dotx^23, que é a derivada de x elevada ao quadrado. Isso já indica que a equação não é linear, pois temos a derivada dotx elevada ao quadrado.
Como não é linear, as perguntas sobre coeficientes constantes ou se é homogênea não se aplicam da mesma forma. Mas para saber se fosse linear:
  • Coeficientes Constantes: Tecnicamente, os coeficientes seriam 1 (para ddotx) e 1 (para x), que são constantes.
  • Homogênea: Se todos os termos dependem apenas de x e suas derivadas, sem termos livres, é homogênea. Aqui, como igual a zero, seria homogênea se fosse linear, mas a presença de dotx^2 já quebra isso.

Passo 4

c) Se não-linear: É autônoma?
Como já vimos que a equação não é linear, vamos verificar se ela é autônoma. Uma equação diferencial é autônoma se ela não depende explicitamente da variável independente, que neste caso é t.
Nossa equação:
ddotx - (1 - dotx^23)dotx + x = 0
Não há termos que dependam diretamente de t, apenas de x e suas derivadas. Então, sim, essa equação é autônoma.

Passo 5

Conversão para a forma normal:
A forma normal de uma equação diferencial de segunda ordem geralmente expressa a segunda derivada em termos das primeiras derivadas e da função original. Vamos rearranjar a nossa equação para isolar ddotx.
Começamos com:
ddotx - (1 - dotx^23)dotx + x = 0
Vamos mover os outros termos para o outro lado:
ddotx = (1 - dotx^23)dotx - x
Então, a forma normal da equação é:
ddotx = (1 - dotx^23)dotx - x
Restrições decorrentes da conversão:
Ao converter para a forma normal, não impusemos nenhuma restrição adicional além daquelas já presentes na equação original. Porém, é importante notar que a presença do termo dotx^2 pode implicar em comportamentos não lineares complexos na solução da equação.

Resposta

A equação diferencial dada é de segunda ordem, com x como variável dependente e t como independente. Não é linear por causa do termo dotx^2 e é autônoma, pois não depende explicitamente de t. A forma normal da equação é:
ddotx = (1 - dotx^23)dotx - x

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