Calcule as integrais de linha
integralgamma F d gamma
com
F(x1, x2, ldots, xn)=(x1^n, x2^n, ldots, xn^n), gamma(t)=(t^2, t^2, ldots, t^2), 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralgammavec Fcdot dgamma com vec F(x1,dots,xn)=(x1^n,dots,xn^n) e gamma(t)=(t^2,dots,t^2), 0<= t<=1. Vamos usar a definição
integralgammavec Fcdot dgamma=integral0^1vec F(gamma(t))cdotgamma'(t),dt

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada do parâmetro:
gamma'(t)=l(2t,2t,dots,2tr)

Passo 3

Agora avaliamos o campo no caminho:
vec Fl(gamma(t)r)=l((t^2)^n,(t^2)^n,dots,(t^2)^nr)=l(t^2n,t^2n,dots,t^2nr)

Passo 4

Em seguida, fazemos o produto escalar
vec F(gamma(t))cdotgamma'(t)=sumi=1^n t^2ncdot2t=2n,t^2n+1

Passo 5

Por fim, integramos de 0 a 1:
integral0^1 2n,t^2n+1,dt=2n[t^2n+22n+2]0^1=2n2n+2=nn+1

Resposta

nn+1

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