Calcule
Aqui, você pode resolver a integral escolhendo uma curva de sua preferência, ou então encontrando uma função potencial adequada. Observe o domínio do campo para resolver a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
. O conteúdo é de campos vetoriais conservativos e funções potenciais, e vamos precisar verificar se o campo é exato e, em caso afirmativo, encontrar sua função potencial para usar o teorema fundamental das integrais de linha.
Passo 2
Para checar se o campo
é conservativo, comparamos as derivadas parciais:
e
. Como o domínio é
, que é simplesmente conexo, e
, o campo é exato.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
, usamos
. Integrando em relação a
:
onde
é função de
a determinar. Em seguida, exigimos
:
Daí
e
é constante. Podemos escolher
.
Passo 4
Aplicando o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos, temos:
Como
, calculamos:
Portanto a integral vale
.
Resposta
3