Calcule
integral(1,1)^(2,2) y d x+x d y
Aqui, você pode resolver a integral escolhendo uma curva de sua preferência, ou então encontrando uma função potencial adequada. Observe o domínio do campo para resolver a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integral(1,1)^(2,2) y,dx + x,dy. O conteúdo é de campos vetoriais conservativos e funções potenciais, e vamos precisar verificar se o campo é exato e, em caso afirmativo, encontrar sua função potencial para usar o teorema fundamental das integrais de linha.

Passo 2

Para checar se o campo F(x,y) = (P,Q) = (y,,x) é conservativo, comparamos as derivadas parciais: partial Ppartial y = 1 e partial Qpartial x = 1. Como o domínio é R^2, que é simplesmente conexo, e partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo é exato.

Passo 3

Para encontrar a função potencial f(x,y), usamos partial fpartial x = P = y. Integrando em relação a x:
f(x,y) = integral y,dx = xy + h(y),
onde h(y) é função de y a determinar. Em seguida, exigimos partial fpartial y = Q = x:
partialpartial y(xy + h(y)) = x + h'(y) = x
Daí h'(y)=0 e h(y) é constante. Podemos escolher f(x,y)=xy.

Passo 4

Aplicando o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos, temos:
integral(1,1)^(2,2) y,dx + x,dy = f(2,2) - f(1,1)
Como f(x,y)=xy, calculamos:
f(2,2) = 2 cdot 2 = 4,
f(1,1) = 1 cdot 1 = 1
Portanto a integral vale 4 - 1 = 3.

Resposta

3

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