Para cada equação nos Problemas de 1 a 12, determine se é ela exata. Se for, encontre a solução.
\frac{d y}{d x}=-\frac{a x+b y}{b x+c y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = -\frac{a x + b y}{b x + c y}
e pede: determinar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece (assumiremos o usual):
  • a,b,c são constantes (fixas).
  • A equação está escrita como uma taxa dy/dx; podemos reescrevê-la na forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
  • Devemos verificar a exatidão e, caso seja exata, achar uma função potencial F(x,y) tal que F(x,y)=\text{constante} seja a solução implícita.\n
    Nada mais será assumido aqui (por exemplo, pontos onde b x + c y=0 podem precisar de atenção, mas isso veremos depois).

Passo 2

Primeiro vamos colocar a equação na forma clássica M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0. Multiplicando ambos os lados por b x + c y obtemos
(b x + c y)\frac{dy}{dx} = -(a x + b y).
Reescrevendo em forma diferencial:
(a x + b y)\,dx + (b x + c y)\,dy = 0.
Portanto identificamos
M(x,y) = a x + b y,\qquad N(x,y) = b x + c y.

Passo 3

Explicando o que significa “exata” (aula curta e prática): uma equação diferencial da forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = M\quad\text{e}\quad \frac{\partial F}{\partial y} = N.
Um teste simples (condição de integrabilidade) é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
\frac{\partial M}{\partial y} \stackrel{?}{=} \frac{\partial N}{\partial x}.
Agora calculamos as parciais para o nosso M e N:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(a x + b y) = b,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(b x + c y) = b.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x = b, a equação é exata (a condição está satisfeita).

Passo 4

Como é exata, existe F(x,y) com F_x = M = a x + b y. Para achar F integramos M em relação a x, tratando y como constante. Isto é uma técnica padrão: ao integrar uma parcial devemos sempre lembrar que a “constante” de integração pode depender da outra variável.
F(x,y) = \int (a x + b y)\,dx = \frac{a}{2}x^2 + b x y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (porque a derivada parcial em relação a x anula qualquer termo que dependa só de y).

Passo 5

Agora usamos a outra condição F_y = N para determinar h(y). Diferenciando F acima em relação a y (agora x é tratado como constante) obtemos
\frac{\partial F}{\partial y} = b x + h'(y).
Devemos ter \partial F/\partial y = N = b x + c y. Igualando:
b x + h'(y) = b x + c y \quad\Rightarrow\quad h'(y) = c y.
Integrando h'(y) em relação a y:
h(y) = \int c y\,dy = \frac{c}{2}y^2 + \text{constante}.
Podemos absorver essa constante final na constante geral da solução implícita.

Passo 6

Substituindo h(y) em F(x,y) obtemos a função potencial completa:
F(x,y) = \frac{a}{2}x^2 + b x y + \frac{c}{2}y^2.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
F(x,y) = \text{constante},
ou seja
\frac{a}{2}x^2 + b x y + \frac{c}{2}y^2 = C,
onde C é uma constante arbitrária de integração. Podemos multiplicar por 2 para uma forma equivalente mais simples:
a x^2 + 2 b x y + c y^2 = K,
com K=2C.

Passo 7

Observações finais (úteis na prova):
  • A equação é exata sem condições extras (desde que a,b,c sejam constantes) porque a condição \partial M/\partial y=\partial N/\partial x deu b=b.
  • Pontos onde b x + c y=0 fazem o lado direito da forma original dy/dx parecer singular; contudo a solução implícita encontrada é válida como família integral, e curvas com K=0 correspondem à forma quadrática igual a zero (que pode representar uma ou duas retas se o polinômio quadrático se fatorar). Em casos particulares (por exemplo se ac-b^2=0) a forma quadrática é degenerada e pode corresponder a uma reta dupla; esses casos especiais podem gerar integrais singulares que convém analisar caso a caso na prova.\n
    Força — você já tem a receita: transformar em M\,dx+N\,dy=0, testar \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, integrar M em x (lembrando da “constante” em y), usar F_y=N para achar a função de y.

Resposta

Exata. \displaystyle \frac{a}{2}x^2 + b x y + \frac{c}{2}y^2 = C

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