Para cada equação nos Problemas de 1 a 12, determine se é ela exata. Se for, encontre a solução.
\frac{d y}{d x}=-\frac{a x+b y}{b x+c y}
\frac{d y}{d x}=-\frac{a x+b y}{b x+c y}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: determinar se essa equação é exata e, se for, encontrar a solução.\n
Informações relevantes que o enunciado fornece (assumiremos o usual):
Informações relevantes que o enunciado fornece (assumiremos o usual):
-
são constantes (fixas). - A equação está escrita como uma taxa
; podemos reescrevê-la na forma diferencial . - Devemos verificar a exatidão e, caso seja exata, achar uma função potencial
tal que seja a solução implícita.\n
Nada mais será assumido aqui (por exemplo, pontos ondepodem precisar de atenção, mas isso veremos depois).
Passo 2
Primeiro vamos colocar a equação na forma clássica
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Reescrevendo em forma diferencial:
Portanto identificamos
Passo 3
Explicando o que significa “exata” (aula curta e prática): uma equação diferencial da forma
é exata se existe uma função
tal que
Um teste simples (condição de integrabilidade) é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem:
Agora calculamos as parciais para o nosso
e
:
Como
, a equação é exata (a condição está satisfeita).
Passo 4
Como é exata, existe
com
. Para achar
integramos
em relação a
, tratando
como constante. Isto é uma técnica padrão: ao integrar uma parcial devemos sempre lembrar que a “constante” de integração pode depender da outra variável.
onde
é uma função arbitrária de
(porque a derivada parcial em relação a
anula qualquer termo que dependa só de
).
Passo 5
Agora usamos a outra condição
para determinar
. Diferenciando
acima em relação a
(agora
é tratado como constante) obtemos
Devemos ter
. Igualando:
Integrando
em relação a
:
Podemos absorver essa constante final na constante geral da solução implícita.
Passo 6
Substituindo
em
obtemos a função potencial completa:
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
ou seja
onde
é uma constante arbitrária de integração. Podemos multiplicar por
para uma forma equivalente mais simples:
com
.
Passo 7
Observações finais (úteis na prova):
- A equação é exata sem condições extras (desde que
sejam constantes) porque a condição deu . - Pontos onde
fazem o lado direito da forma original parecer singular; contudo a solução implícita encontrada é válida como família integral, e curvas com correspondem à forma quadrática igual a zero (que pode representar uma ou duas retas se o polinômio quadrático se fatorar). Em casos particulares (por exemplo se ) a forma quadrática é degenerada e pode corresponder a uma reta dupla; esses casos especiais podem gerar integrais singulares que convém analisar caso a caso na prova.\n
Força — você já tem a receita: transformar em, testar , integrar em (lembrando da “constante” em ), usar para achar a função de .
Resposta
Exata.