Usando integração por partes, prove as seguintes fórmulas recorrentes:
\begin{aligned} \int \operatorname{sen}^{n}(x) d x & =-\frac{1}{n} \operatorname{sen}^{n-1}(x) \cos (x)+\frac{n-1}{n} \int \operatorname{sen}^{n-2}(x) d x \\\ \int \cos ^{n}(x) d x & =\frac{1}{n} \cos ^{n-1}(x) \operatorname{sen}(x)+\frac{n-1}{n} \int \cos ^{n-2}(x) d x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para provar duas fórmulas recorrentes envolvendo integrais de potências de seno e cosseno. As fórmulas a serem provadas são:
\int \operatorname{sen}^{n}(x)\,dx = -\frac{1}{n}\operatorname{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + \frac{n-1}{n}\int \operatorname{sen}^{n-2}(x)\,dx
\int \cos^{n}(x)\,dx = \frac{1}{n}\cos^{n-1}(x)\operatorname{sen}(x) + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(x)\,dx
Informações dadas e suposições necessárias:
  • x é a variável de integração.
  • n é um parâmetro inteiro, normalmente consideramos n\ge 2 para aplicar a recorrência (casos n=0,1 são tratados diretamente).
  • Queremos uma relação entre \int \operatorname{sen}^{n}x\,dx e \int \operatorname{sen}^{n-2}x\,dx (e análoga para cosseno).

Passo 2

Vou provar primeiro a fórmula para \int \operatorname{sen}^{n}(x)\,dx. Para organizar a notação, defina
I_n=\int \operatorname{sen}^{n}(x)\,dx.
A ideia é escrever \operatorname{sen}^{n}x como \operatorname{sen}^{n-1}x\cdot \operatorname{sen}x e aplicar a fórmula de integração por partes. Antes disso, lembrança do que é integração por partes: para funções u(x) e v(x) diferenciáveis,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui du é a derivada de u vezes dx, e v é uma antiderivada de dv. Vou escolher as partes de forma que uma derivada simplifique a potência.

Passo 3

Escolha para aplicar integração por partes:
u=\operatorname{sen}^{\,n-1}(x),\qquad dv=\operatorname{sen}(x)\,dx.
Agora calcule du e v:
  • Para du usamos a regra da cadeia. A derivada de \operatorname{sen}^{n-1}x em relação a x é (n-1)\operatorname{sen}^{n-2}x\cdot \cos x. Assim
du=(n-1)\operatorname{sen}^{\,n-2}(x)\cos(x)\,dx.
  • Uma antiderivada de \operatorname{sen}x é -\cos x. Logo
v=-\cos(x).

Passo 4

Aplique a fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du ao integral I_n=\int \operatorname{sen}^{n-1}x\cdot\operatorname{sen}x\,dx:
I_n = u v - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
I_n = -\operatorname{sen}^{\,n-1}(x)\cos(x) - \int \bigl(-\cos(x)\bigr)\cdot (n-1)\operatorname{sen}^{\,n-2}(x)\cos(x)\,dx.
Simplificando o sinal:
I_n = -\operatorname{sen}^{\,n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\int \cos^{2}(x)\operatorname{sen}^{\,n-2}(x)\,dx.

Passo 5

Agora use a identidade trigonométrica básica \cos^{2}x = 1 - \operatorname{sen}^{2}x. Substituindo na integral:
I_n = -\operatorname{sen}^{\,n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\int \bigl(1-\operatorname{sen}^{2}(x)\bigr)\operatorname{sen}^{\,n-2}(x)\,dx.
Distribua dentro da integral:
I_n = -\operatorname{sen}^{\,n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\int \operatorname{sen}^{\,n-2}(x)\,dx - (n-1)\int \operatorname{sen}^{\,n}(x)\,dx.
Repare que \int \operatorname{sen}^{\,n}(x)\,dx é exatamente I_n. Então a última parcela é (n-1)I_n.

Passo 6

Agora reúna os termos que envolvem I_n. Da expressão do Passo 5:
I_n = -\operatorname{sen}^{\,n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\int \operatorname{sen}^{\,n-2}(x)\,dx - (n-1)I_n.
Passe o termo -(n-1)I_n para o lado esquerdo:
I_n + (n-1)I_n = -\operatorname{sen}^{\,n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\int \operatorname{sen}^{\,n-2}(x)\,dx.
Somando os coeficientes:
n I_n = -\operatorname{sen}^{\,n-1}(x)\cos(x) + (n-1)\int \operatorname{sen}^{\,n-2}(x)\,dx.
Divida ambos os lados por n:
I_n = -\frac{1}{n}\operatorname{sen}^{\,n-1}(x)\cos(x) + \frac{n-1}{n}\int \operatorname{sen}^{\,n-2}(x)\,dx.
Essa é exatamente a recorrência pedida para \int \operatorname{sen}^{n}x\,dx. Observação: vale para n\ge 2; casos iniciais n=0 e n=1 resolvem-se diretamente.

Passo 7

Agora prove a fórmula para \int \cos^{n}(x)\,dx. Defina
J_n=\int \cos^{n}(x)\,dx.
Procedimento análogo: escreva \cos^{n}x=\cos^{n-1}x\cdot\cos x e aplique integração por partes com escolha conveniente.

Passo 8

Escolha
u=\cos^{\,n-1}(x),\qquad dv=\cos(x)\,dx.
Calcule du e v:
  • A derivada de \cos^{n-1}x é (n-1)\cos^{n-2}x\cdot(-\sin x), portanto
du=-(n-1)\cos^{\,n-2}(x)\operatorname{sen}(x)\,dx.
  • Uma antiderivada de \cos x é \operatorname{sen}x, então
v=\operatorname{sen}(x).

Passo 9

Aplique integração por partes:
J_n = u v - \int v\,du.
Substituindo:
J_n = \cos^{\,n-1}(x)\operatorname{sen}(x) - \int \operatorname{sen}(x)\cdot\bigl(- (n-1)\cos^{\,n-2}(x)\operatorname{sen}(x)\bigr)\,dx.
Simplificando:
J_n = \cos^{\,n-1}(x)\operatorname{sen}(x) + (n-1)\int \operatorname{sen}^{2}(x)\cos^{\,n-2}(x)\,dx.

Passo 10

Use a identidade \operatorname{sen}^{2}x = 1 - \cos^{2}x:
J_n = \cos^{\,n-1}(x)\operatorname{sen}(x) + (n-1)\int \bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr)\cos^{\,n-2}(x)\,dx.
Distribua:
J_n = \cos^{\,n-1}(x)\operatorname{sen}(x) + (n-1)\int \cos^{\,n-2}(x)\,dx - (n-1)\int \cos^{\,n}(x)\,dx.
A última integral é (n-1)J_n. Reunindo termos:
J_n + (n-1)J_n = \cos^{\,n-1}(x)\operatorname{sen}(x) + (n-1)\int \cos^{\,n-2}(x)\,dx,
ou seja
n J_n = \cos^{\,n-1}(x)\operatorname{sen}(x) + (n-1)\int \cos^{\,n-2}(x)\,dx.
Dividindo por n obtemos a recorrência desejada:
J_n = \frac{1}{n}\cos^{\,n-1}(x)\operatorname{sen}(x) + \frac{n-1}{n}\int \cos^{\,n-2}(x)\,dx.

Passo 11

Para fixar a ideia, veja um exemplo rápido com n=2:
  • Usando a fórmula para seno com n=2:
\int \operatorname{sen}^{2}x\,dx = -\frac{1}{2}\operatorname{sen}^{1}x\cos x + \frac{1}{2}\int \operatorname{sen}^{0}x\,dx = -\tfrac{1}{2}\sin x\cos x + \tfrac{1}{2}x + C,
que é a forma conhecida \tfrac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C. Isso mostra que a recorrência funciona e é prática para calcular casos concretos.

Resposta

\int \operatorname{sen}^{n}(x)\,dx = -\frac{1}{n}\operatorname{sen}^{n-1}(x)\cos(x) + \frac{n-1}{n}\int \operatorname{sen}^{n-2}(x)\,dx
\int \cos^{n}(x)\,dx = \frac{1}{n}\cos^{n-1}(x)\operatorname{sen}(x) + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}(x)\,dx

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