Usando integração por partes, prove as seguintes fórmulas recorrentes:
Passo 1
O enunciado pede para provar duas fórmulas recorrentes envolvendo integrais de potências de seno e cosseno. As fórmulas a serem provadas são:
Informações dadas e suposições necessárias:
-
é a variável de integração. -
é um parâmetro inteiro, normalmente consideramos para aplicar a recorrência (casos são tratados diretamente). - Queremos uma relação entre
e (e análoga para cosseno).
Passo 2
Vou provar primeiro a fórmula para
. Para organizar a notação, defina
A ideia é escrever
como
e aplicar a fórmula de integração por partes. Antes disso, lembrança do que é integração por partes: para funções
e
diferenciáveis,
Aqui
é a derivada de
vezes
, e
é uma antiderivada de
. Vou escolher as partes de forma que uma derivada simplifique a potência.
Passo 3
Escolha para aplicar integração por partes:
Agora calcule
e
:
- Para
usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Assim
- Uma antiderivada de
é . Logo
Passo 4
Aplique a fórmula de integração por partes
ao integral
:
Substituindo
:
Simplificando o sinal:
Passo 5
Agora use a identidade trigonométrica básica
. Substituindo na integral:
Distribua dentro da integral:
Repare que
é exatamente
. Então a última parcela é
.
Passo 6
Agora reúna os termos que envolvem
. Da expressão do Passo 5:
Passe o termo
para o lado esquerdo:
Somando os coeficientes:
Divida ambos os lados por
:
Essa é exatamente a recorrência pedida para
. Observação: vale para
; casos iniciais
e
resolvem-se diretamente.
Passo 7
Agora prove a fórmula para
. Defina
Procedimento análogo: escreva
e aplique integração por partes com escolha conveniente.
Passo 8
Escolha
Calcule
e
:
- A derivada de
é , portanto
- Uma antiderivada de
é , então
Passo 9
Aplique integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 10
Use a identidade
:
Distribua:
A última integral é
. Reunindo termos:
ou seja
Dividindo por
obtemos a recorrência desejada:
Passo 11
Para fixar a ideia, veja um exemplo rápido com
:
- Usando a fórmula para seno com
:
que é a forma conhecida
. Isso mostra que a recorrência funciona e é prática para calcular casos concretos.