Usando o problema anterior e integração por partes, mostre que:
\int \operatorname{sec} ^{3}(x) d x=\frac{1}{2} \operatorname{sec} (x) \operatorname{tg}(x)+\frac{1}{2} \ln (|\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec} (x)|)+c

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx=\frac{1}{2}\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)+\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)\bigr|+C.
Informações fornecidas: a integral a ser calculada é \int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx. O objetivo é obter a expressão fechada mostrada acima. Não há outras condições no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula de integração por partes, que é a ferramenta principal aqui. A fórmula vem da regra do produto para derivação. Se escolhermos duas funções u(x) e v(x) com derivadas bem comportadas, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicando cada símbolo: u é uma função escolhida, dv é a outra parte do integrando que vamos integrar para obter v. Então du é a derivada de u (isto é, du = u'(x)\,dx) e v é uma antiderivada de dv (isto é, dv = v'(x)\,dx). A escolha de u e dv normalmente é feita para simplificar \int v\,du.

Passo 3

Aplicamos essa ideia à nossa integral. Escrevemos a integranda como produto:
\operatorname{sec}^{3}(x) = \operatorname{sec}(x)\cdot \operatorname{sec}^{2}(x).
Agora escolhemos
u=\operatorname{sec}(x),\qquad dv=\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Motivo da escolha (explicando como pensar rápido na prova): \operatorname{sec}(x) tem derivada \operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x) (continua com \operatorname{sec}), enquanto \operatorname{sec}^{2}(x) é a derivada de \operatorname{tg}(x). Assim integrar dv nos dá algo simples ( \operatorname{tg}(x)) e ao derivar u mantemos funções trigonométricas relacionadas, o que deve permitir simplificações.

Passo 4

Calculemos du e v:
du = \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)\,dx = \operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)\,dx,
v = \int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \operatorname{tg}(x).
Agora aplicamos integração por partes:
\int \operatorname{sec}(x)\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u,v,du:
\int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx = \operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x) - \int \operatorname{tg}(x)\bigl(\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)\bigr)\,dx.
Multiplicando dentro da integral:
\int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx = \operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x) - \int \operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}^{2}(x)\,dx.

Passo 5

Usamos a identidade trigonométrica fundamental
\operatorname{tg}^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)-1.
Substituindo em \int \operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}^{2}(x)\,dx obtemos
\int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx = \operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x) - \int \operatorname{sec}(x)\bigl(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\bigr)\,dx.
Distribuindo o integrando:
\int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx = \operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x) - \int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx + \int \operatorname{sec}(x)\,dx.
Agora isolamos \int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx. Somando \int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx aos dois lados:
2\int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx = \operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x) + \int \operatorname{sec}(x)\,dx.
Portanto
\int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x) + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}(x)\,dx.

Passo 6

Falta calcular \int \operatorname{sec}(x)\,dx. Existe um truque padrão: multiplicar integrando por \dfrac{\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)}{\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)} para reconhecer uma derivada no numerador. Escrevemos
\int \operatorname{sec}(x)\,dx = \int \frac{\operatorname{sec}(x)\bigl(\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)\bigr)}{\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)}\,dx = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}(x)+\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)}{\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)}\,dx.
Observe que a derivada de \operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x) é
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)\bigr)=\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}^{2}(x),
que é exatamente o numerador. Assim fazemos a substituição
w=\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)\quad\Rightarrow\quad dw=\bigl(\operatorname{sec}^{2}(x)+\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)\bigr)\,dx.
A integral torna-se
\int \operatorname{sec}(x)\,dx = \int \frac{1}{w}\,dw = \ln|w| + C = \ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)\bigr| + C.

Passo 7

Voltando à expressão do Passo 5 e substituindo \int \operatorname{sec}(x)\,dx:
\int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx = \frac{1}{2}\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x) + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)\bigr| + C.
Podemos trocar a ordem em \ln para \ln\bigl|\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)\bigr| sem alterar o valor. Essa é exatamente a forma pedida.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)+\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)\bigr|+C

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