Informações fornecidas: a integral a ser calculada é \int \operatorname{sec}^{3}(x)\,dx. O objetivo é obter a expressão fechada mostrada acima. Não há outras condições no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula de integração por partes, que é a ferramenta principal aqui. A fórmula vem da regra do produto para derivação. Se escolhermos duas funções u(x) e v(x) com derivadas bem comportadas, então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Explicando cada símbolo: u é uma função escolhida, dv é a outra parte do integrando que vamos integrar para obter v. Então du é a derivada de u (isto é, du = u'(x)\,dx) e v é uma antiderivada de dv (isto é, dv = v'(x)\,dx). A escolha de u e dv normalmente é feita para simplificar \int v\,du.
Passo 3
Aplicamos essa ideia à nossa integral. Escrevemos a integranda como produto:
Motivo da escolha (explicando como pensar rápido na prova): \operatorname{sec}(x) tem derivada \operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x) (continua com \operatorname{sec}), enquanto \operatorname{sec}^{2}(x) é a derivada de \operatorname{tg}(x). Assim integrar dv nos dá algo simples (\operatorname{tg}(x)) e ao derivar u mantemos funções trigonométricas relacionadas, o que deve permitir simplificações.
Passo 4
Calculemos du e v:
du = \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)\,dx = \operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)\,dx,
v = \int \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = \operatorname{tg}(x).
Agora aplicamos integração por partes:
\int \operatorname{sec}(x)\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx = u v - \int v\,du.
Falta calcular \int \operatorname{sec}(x)\,dx. Existe um truque padrão: multiplicar integrando por \dfrac{\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)}{\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)} para reconhecer uma derivada no numerador. Escrevemos