Cada uma das equações de (a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem mesma trajetória - o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às questões a seguir.
(d) \mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}-(\operatorname{sen} t) \mathbf{j}, \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a partícula cujo vetor de posição é \mathbf{r}(t) = (\cos t)\,\mathbf{i} - (\sin t)\,\mathbf{j}, t\ge0.
Precisamos determinar a velocidade \mathbf{v}(t), a aceleração \mathbf{a}(t), a rapidez \|\mathbf{v}(t)\|, verificar se o movimento é uniforme, identificar o sentido de movimento e calcular o período de uma volta.

Passo 2

Derivando componente a componente obtemos a velocidade
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) =-\sin t\,\mathbf{i}-\cos t\,\mathbf{j}.

Passo 3

A rapidez é a norma de \mathbf{v}(t):
\|\mathbf{v}(t)\| =\sqrt{(-\sin t)^{2}+(-\cos t)^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t} =1.
Como a rapidez é constante e igual a 1, o movimento é uniforme.

Passo 4

Derivando \mathbf{v}(t) achamos a aceleração
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) =-\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}.
Repare que \mathbf{a}(t)=-\mathbf{r}(t), ou seja, é aceleração centrípeta apontando para o centro do círculo.

Passo 5

Para identificar o sentido, olhamos \mathbf{v}(0). Como \mathbf{r}(0)=(1,0) e
\mathbf{v}(0)=-\sin0\,\mathbf{i}-\cos0\,\mathbf{j} =-\mathbf{j},
a partícula parte de (1,0) apontando para baixo, logo o sentido é horário.

Passo 6

O período corresponde ao menor T>0 tal que \cos(t+T)=\cos t e \sin(t+T)=\sin t, ou seja, T=2\pi.

Resposta

\mathbf{v}(t)=-\sin t\,\mathbf{i}-\cos t\,\mathbf{j} \mathbf{a}(t)=-\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}
Rapidez constante \|\mathbf{v}(t)\|=1 (movimento uniforme)
Sentido: horário
Período: 2\pi

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