Cada uma das equações de (a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem mesma trajetória - o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às questões a seguir.
i. A partícula tem módulo de velocidade constante? Em caso afirmativo, qual módulo?
ii. O vetor aceleração da partícula é sempre ortogonal a seu vetor velocidade?
iii. A partícula se move no sentido horário ou anti-horário ao redor do círculo?
iv. A partícula começa no ponto (1,0) ?
(a) \mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}+(\operatorname{sen} t) \mathbf{j}, \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a trajetória
\mathbf{r}(t) = (\cos t)\,\mathbf{i} + (\sin t)\,\mathbf{j},\quad t\ge0,
que descreve uma partícula se movendo sobre o círculo unitário x^2+y^2=1. Precisamos responder:
i. se o módulo da velocidade é constante e qual é;
ii. se a aceleração é sempre ortogonal à velocidade;
iii. o sentido do movimento (horário ou anti-horário);
iv. se a partícula parte de (1,0).

Passo 2

Derivando \mathbf{r}(t), obtemos a velocidade
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(-\sin t)\,\mathbf{i}+(\cos t)\,\mathbf{j}.
O módulo é
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2} =\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}=1,
portanto o módulo da velocidade é constante e igual a 1.

Passo 3

Derivando \mathbf{v}(t), obtemos a aceleração
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=(-\cos t)\,\mathbf{i}+(-\sin t)\,\mathbf{j}=-\mathbf{r}(t).
O produto escalar
\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t) =(-\sin t)(-\cos t)+(\cos t)(-\sin t) =\sin t\cos t-\cos t\sin t=0
mostra que \mathbf{a}(t) é sempre ortogonal a \mathbf{v}(t).

Passo 4

Em t=0,
\mathbf{r}(0)=(\cos0,\sin0)=(1,0), \quad \mathbf{v}(0)=(0,1).
Como \mathbf{v}(0) aponta para o eixo positivo y, a partícula sai de (1,0) subindo, ou seja, percorre o círculo no sentido anti-horário.

Resposta

i. Sim, o módulo da velocidade é constante e vale 1.
ii. Sim, o vetor aceleração é sempre ortogonal ao vetor velocidade.
iii. A partícula se move no sentido anti-horário.
iv. Sim, a partícula começa em (1,0).

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