Encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva dada em dado valor paramétrico t=t_{0}.
\mathbf{r}(t)=(\operatorname{sen} t) \mathbf{i}+\left(t^{2}-\cos t\right) \mathbf{j}+e^{t} \mathbf{k}, \quad t_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \mathbf{r}(t)=(\sin t)\mathbf{i}+\bigl(t^{2}-\cos t\bigr)\mathbf{j}+e^{t}\mathbf{k}
e pede as equações paramétricas da reta tangente em t_{0}=0. Para isso vamos calcular o ponto de tangência \mathbf{r}(0) e o vetor direção \mathbf{r}'(0).

Passo 2

Calculamos o ponto de tangência avaliando
\mathbf{r}(0)=(\sin 0,\;0^{2}-\cos 0,\;e^{0})=(0,-1,1).

Passo 3

Derivamos \mathbf{r}(t) para obter o vetor direção da reta tangente:
\mathbf{r}'(t)=(\cos t,\;2t+\sin t,\;e^{t}),
logo em t=0
\mathbf{r}'(0)=(\cos 0,\;2\cdot0+\sin 0,\;e^{0})=(1,0,1).

Passo 4

A reta tangente no ponto (0,-1,1) com vetor diretor (1,0,1) tem equações paramétricas, usando parâmetro u:
x = 0 + 1\,u = u
y = -1 + 0\,u = -1
z = 1 + 1\,u = 1 + u

Resposta

x = u
y = -1
z = 1 + u

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