Cada uma das equações de (a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem mesma trajetória - o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às questões a seguir.
i. A partícula tem módulo de velocidade constante? Em caso afirmativo, qual módulo?
ii. O vetor aceleração da partícula é sempre ortogonal a seu vetor velocidade?
iii. A partícula se move no sentido horário ou anti-horário ao redor do círculo?
iv. A partícula começa no ponto (1,0) ?
(e) \mathbf{r}(t)=\cos \left(t^{2}\right) \mathbf{i}+\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \mathbf{j}, \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado dá a partícula cuja posição é \mathbf{r}(t)=\bigl(\cos(t^2),\,\sin(t^2)\bigr), com t\ge0, descrevendo o círculo unitário x^2+y^2=1. Precisamos usar derivação para obter velocidade e aceleração e em seguida analisar módulo de velocidade, ortogonalidade entre \mathbf{v} e \mathbf{a}, sentido de varredura do ângulo e posição inicial.

Passo 2

Calculamos a velocidade derivando cada componente:
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) =\bigl(-2t\sin(t^2),\;2t\cos(t^2)\bigr).
O módulo é
\|\mathbf{v}(t)\| =\sqrt{(-2t\sin(t^2))^2+(2t\cos(t^2))^2} =2t,
já que \sin^2(t^2)+\cos^2(t^2)=1. Como 2t depende de t, o módulo não é constante (é zero em t=0 e cresce linearmente).

Passo 3

Derivando \mathbf{v}(t) obtemos a aceleração:
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) =\bigl(-2\sin(t^2)-4t^2\cos(t^2),\;2\cos(t^2)-4t^2\sin(t^2)\bigr).
O produto escalar é
\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t) =4t(\sin^2(t^2)+\cos^2(t^2)) =4t,
que só vale zero em t=0. Para t>0 é non-zero, logo \mathbf{a} não é sempre ortogonal a \mathbf{v}.

Passo 4

Podemos ver \mathbf{r}(t)=(\cos\theta,\sin\theta) com \theta=t^2. Como t^2 cresce em t, o ângulo cresce, isto é, o movimento é no sentido anti-horário.

Passo 5

Substituindo t=0 em \mathbf{r}(t) \mathbf{r}(0)=(\cos0,\sin0)=(1,0). Portanto a partícula realmente começa em (1,0).

Resposta

i. Não; seu módulo é \|\mathbf{v}(t)\|=2t, não constante.
ii. Não; \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t)=4t\neq0 para t>0.
iii. A partícula se move no sentido anti-horário.
iv. Sim; em t=0 está em (1,0).

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