Cada uma das equações de (a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem mesma trajetória - o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às questões a seguir.
i. A partícula tem módulo de velocidade constante? Em caso afirmativo, qual módulo?
ii. O vetor aceleração da partícula é sempre ortogonal a seu vetor velocidade?
iii. A partícula se move no sentido horário ou anti-horário ao redor do círculo?
iv. A partícula começa no ponto (1,0) ?
(e) \mathbf{r}(t)=\cos \left(t^{2}\right) \mathbf{i}+\operatorname{sen}\left(t^{2}\right) \mathbf{j}, \quad t \geq 0

Passo 1

Temos a partícula descrita por
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos(t^2),\,\sin(t^2)\bigr),\quad t\ge0,
que percorre o círculo unitário. Para responder as questões, vamos precisar derivar \mathbf{r}(t) para obter o vetor velocidade \mathbf{v}(t), depois derivar de novo para ter o vetor aceleração \mathbf{a}(t), e então examinar módulo de \mathbf{v}(t), produto escalar \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t), sentido de variação do ângulo e a posição inicial \mathbf{r}(0).

Passo 2

Derivando componente a componente, temos
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\bigl(-2t\sin(t^2),\;2t\cos(t^2)\bigr).
O módulo é
\|\mathbf{v}(t)\| =\sqrt{(-2t\sin(t^2))^2+(2t\cos(t^2))^2} =2t.
Logo, o módulo de velocidade não é constante (varia linearmente com t) e vale \|\mathbf{v}(t)\|=2t.

Passo 3

Derivando \mathbf{v}(t), obtemos
\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\bigl(-2\sin(t^2)-4t^2\cos(t^2),\;2\cos(t^2)-4t^2\sin(t^2)\bigr).
O produto escalar é
\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t) =4t\bigl(\sin^2(t^2)+\cos^2(t^2)\bigr) =4t\neq0\quad (\text{para }t>0).
Portanto, \mathbf{a}(t) não é sempre ortogonal a \mathbf{v}(t).

Passo 4

O argumento do cosseno e seno é \theta(t)=t^2, que aumenta com t. Isso significa que o movimento ocorre no sentido anti-horário ao redor do círculo.

Passo 5

Em t=0 temos
\mathbf{r}(0)=\bigl(\cos0,\sin0\bigr)=(1,0),
ou seja, a partícula começa no ponto (1,0).

Resposta

(i) A partícula não tem módulo de velocidade constante; \|\mathbf{v}(t)\|=2t.
(ii) Não: \mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t)=4t\neq0 para t>0.
(iii) O movimento é no sentido anti-horário.
(iv) Sim, a partícula parte de (1,0).

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