Cada uma das equações de (a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem mesma trajetória - o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às questões a seguir.
i. A partícula tem módulo de velocidade constante? Em caso afirmativo, qual módulo?
ii. O vetor aceleração da partícula é sempre ortogonal a seu vetor velocidade?
iii. A partícula se move no sentido horário ou anti-horário ao redor do círculo?
iv. A partícula começa no ponto (1,0) ?
(d) \mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}-(\operatorname{sen} t) \mathbf{j}, \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição \mathbf{r}(t)=(\cos t)\,\mathbf{i}-(\sin t)\,\mathbf{j} para t\ge 0, descrevendo uma partícula que percorre o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Precisamos responder: i. se o módulo da velocidade é constante e qual é; ii. se a aceleração é sempre ortogonal à velocidade; iii. em que sentido a partícula se move; iv. se ela parte de (1,0).

Passo 2

Calculamos a velocidade como \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(-\sin t)\,\mathbf{i}-(\cos t)\,\mathbf{j}. O módulo é
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(-\cos t)^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=1,
logo o módulo é constante e igual a 1.

Passo 3

A aceleração é \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=(-\cos t)\,\mathbf{i}+(\sin t)\,\mathbf{j}. Seu produto escalar com a velocidade é
\mathbf{v}(t)\cdot\mathbf{a}(t) =(-\sin t)(-\cos t)+(-\cos t)(\sin t) =\sin t\cos t-\cos t\sin t=0,
portanto \mathbf{a}(t)\perp\mathbf{v}(t) em todo t.

Passo 4

Para determinar o sentido, observe em t=0 que \mathbf{v}(0)=(0)\,\mathbf{i}+(-1)\,\mathbf{j}, o que indica movimento para baixo a partir de (1,0). Isso corresponde ao sentido horário ao redor do círculo.

Passo 5

Em t=0 temos
\mathbf{r}(0)=(\cos 0)\,\mathbf{i}-(\sin 0)\,\mathbf{j}=(1)\,\mathbf{i}-(0)\,\mathbf{j}=(1,0),
ou seja, a partícula realmente começa em (1,0).

Resposta

i. Sim, o módulo da velocidade é constante e igual a 1.
ii. Sim, a aceleração é sempre ortogonal à velocidade.
iii. O movimento ocorre no sentido horário.
iv. Sim, a partícula parte do ponto (1,0).

Exercícios relacionados