Cada uma das equações de (a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem mesma trajetória - o círculo unitário
. Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às questões a seguir.
Passo 1
Enunciado e o que pedimos responder (vou listar as perguntas que normalmente acompanham esse tipo de exercício — assim a gente resolve tudo que te pode cair na prova). O enunciado nos dá a trajetória paramétrica
As perguntas que vamos responder para essa partícula (as típicas) são:
- Qual é a trajetória geométrica (equação no plano) e o ponto inicial
? - Qual é o vetor velocidade
? - Qual é o vetor aceleração
? - Qual é a rapidez
e ela é constante? - Qual é a orientação (sentido) do movimento: horário ou anti-horário?
- Qual o período
e a velocidade angular ? - Quais são as componentes tangencial e normal da aceleração (isto é,
e ) e interpretação física (centrípeta)?
Não estou assumindo nada além do enunciado — agora vou calcular passo a passo cada item, explicando as fórmulas e ideias usadas.
Passo 2
Cálculo do vetor velocidade
e explicação da operação. Para derivar um vetor função fazemos a derivada componente a componente: se
então
. Aqui
e
. Usamos as derivadas conhecidas: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Portanto,
Interpretação rápida: a velocidade é um vetor tangente à circunferência em cada instante (vai ficar claro ao relacionar com
).
Passo 3
Cálculo do vetor aceleração
. Novamente derivamos componente a componente da
. Derivadas: a derivada de
é
; a derivada de
é
. Então
Observação importante (muito útil na prova): compare
com
. Temos
Isto mostra que a aceleração aponta sempre na direção oposta ao vetor posição — ou seja, aponta para o centro da circunferência (é uma aceleração radial para dentro).
Passo 4
Cálculo da rapidez
e ver se é constante. A rapidez é a norma do vetor velocidade: para um vetor
a norma é
. Aqui
Usamos a identidade trigonométrica fundamental
. Logo
Explicação didática: isso significa que a partícula se move com rapidez constante igual a
(unidade por unidade de tempo). Movimento com rapidez constante numa circunferência é chamado movimento circular uniforme.
Passo 5
Cálculo da magnitude da aceleração e interpretação centrípeta. A magnitude de
é
Para movimento circular uniforme a componente tangencial da aceleração
(variação da rapidez) é dada por
. Como
é constante, temos
A componente normal (ou centrípeta)
tem magnitude
onde
é o raio da curva. Aqui a trajetória é o círculo unitário, então
e
, logo
Isto bate com
. Conclusão: toda a aceleração é normal (centrípeta), apontando para o centro.
Passo 6
Determinar a trajetória geométrica e o ponto inicial. Para mostrar que a curva está no círculo unitário, podemos eliminar o parâmetro
:
,
. Então
Portanto a trajetória é o círculo de equação
. O ponto inicial, para
, é
Passo 7
Sentido do movimento (orientação) e período/velocidade angular. Para verificar o sentido observe alguns instantes:
e
. Ao aumentar
a partícula vai de
para
, ou seja, sobe pelo semi-eixo positivo
— isso é o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio). A função trigonométrica usa
na forma
com coeficiente angular
, então a velocidade angular é
O período (tempo de uma volta completa) é
Passo 8
Exemplo contrastante (ajuda a fixar): se tivéssemos
, a derivada daria rapidez
, período
e aceleração de magnitude
apontando para o centro (porque
). Isso mostra como mudar a parametrização altera a dinâmica mesmo mantendo a mesma curva geométrica.
Passo 9
Resumo físico e dicas para prova (rápido, motivador): aqui temos movimento circular uniforme, rapidez
, aceleração centrípeta de magnitude
apontando para o centro, sentido anti-horário, período
. Na prova, para esse tipo de questão: derive componente a componente, calcule rapidez como norma da velocidade e verifique se
para decidir se é uniforme. Mantém a calma — você consegue!
Resposta
Movimento uniforme circular (sim); velocidade angular
Sentido: anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio)
Componentes da aceleração: