Cada uma das equações de (a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem mesma trajetória - o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às questões a seguir.
\mathbf{r}(t)=(\cos t) \mathbf{i}+(\operatorname{sen} t) \mathbf{j}, \quad t \geq 0

Passo 1

Enunciado e o que pedimos responder (vou listar as perguntas que normalmente acompanham esse tipo de exercício — assim a gente resolve tudo que te pode cair na prova). O enunciado nos dá a trajetória paramétrica
\mathbf{r}(t) = (\cos t)\,\mathbf{i} + (\sin t)\,\mathbf{j},\qquad t\ge 0.
As perguntas que vamos responder para essa partícula (as típicas) são:
  1. Qual é a trajetória geométrica (equação no plano) e o ponto inicial \mathbf{r}(0)?
  2. Qual é o vetor velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)?
  3. Qual é o vetor aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)?
  4. Qual é a rapidez v(t)=\lVert\mathbf{v}(t)\rVert e ela é constante?
  5. Qual é a orientação (sentido) do movimento: horário ou anti-horário?
  6. Qual o período T e a velocidade angular \omega?
  7. Quais são as componentes tangencial e normal da aceleração (isto é, a_T e a_N) e interpretação física (centrípeta)?
    Não estou assumindo nada além do enunciado — agora vou calcular passo a passo cada item, explicando as fórmulas e ideias usadas.

Passo 2

Cálculo do vetor velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) e explicação da operação. Para derivar um vetor função fazemos a derivada componente a componente: se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) então \mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t)). Aqui x(t)=\cos t e y(t)=\sin t. Usamos as derivadas conhecidas: a derivada de \cos t é -\sin t e a derivada de \sin t é \cos t. Portanto,
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(-\sin t)\,\mathbf{i}+(\cos t)\,\mathbf{j}.
Interpretação rápida: a velocidade é um vetor tangente à circunferência em cada instante (vai ficar claro ao relacionar com \mathbf{r}(t)).

Passo 3

Cálculo do vetor aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t). Novamente derivamos componente a componente da \mathbf{v}(t). Derivadas: a derivada de -\sin t é -\cos t; a derivada de \cos t é -\sin t. Então
\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=(-\cos t)\,\mathbf{i}+(-\sin t)\,\mathbf{j}.
Observação importante (muito útil na prova): compare \mathbf{a}(t) com \mathbf{r}(t). Temos
\mathbf{a}(t) = -\big(\cos t\,\mathbf{i} + \sin t\,\mathbf{j}\big) = -\mathbf{r}(t).
Isto mostra que a aceleração aponta sempre na direção oposta ao vetor posição — ou seja, aponta para o centro da circunferência (é uma aceleração radial para dentro).

Passo 4

Cálculo da rapidez v(t)=\lVert\mathbf{v}(t)\rVert e ver se é constante. A rapidez é a norma do vetor velocidade: para um vetor (u,v) a norma é \sqrt{u^{2}+v^{2}}. Aqui
v(t)=\lVert\mathbf{v}(t)\rVert=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}.
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}t+\cos^{2}t=1. Logo
v(t)=1.
Explicação didática: isso significa que a partícula se move com rapidez constante igual a 1 (unidade por unidade de tempo). Movimento com rapidez constante numa circunferência é chamado movimento circular uniforme.

Passo 5

Cálculo da magnitude da aceleração e interpretação centrípeta. A magnitude de \mathbf{a}(t) é
\lVert\mathbf{a}(t)\rVert=\sqrt{(-\cos t)^{2}+(-\sin t)^{2}}=\sqrt{\cos^{2}t+\sin^{2}t}=1.
Para movimento circular uniforme a componente tangencial da aceleração a_{T} (variação da rapidez) é dada por a_{T}=\dfrac{dv}{dt}. Como v(t)=1 é constante, temos
a_{T}=0.
A componente normal (ou centrípeta) a_{N} tem magnitude
a_{N}=\frac{v^{2}}{R},
onde R é o raio da curva. Aqui a trajetória é o círculo unitário, então R=1 e v=1, logo
a_{N}=\frac{1^{2}}{1}=1.
Isto bate com \lVert\mathbf{a}(t)\rVert=1. Conclusão: toda a aceleração é normal (centrípeta), apontando para o centro.

Passo 6

Determinar a trajetória geométrica e o ponto inicial. Para mostrar que a curva está no círculo unitário, podemos eliminar o parâmetro t: x(t)=\cos t, y(t)=\sin t. Então
x(t)^{2}+y(t)^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Portanto a trajetória é o círculo de equação \,x^{2}+y^{2}=1\,. O ponto inicial, para t=0, é
\mathbf{r}(0)=(\cos 0)\,\mathbf{i}+(\sin 0)\,\mathbf{j}=(1)\,\mathbf{i}+(0)\,\mathbf{j}=(1,0).

Passo 7

Sentido do movimento (orientação) e período/velocidade angular. Para verificar o sentido observe alguns instantes: \mathbf{r}(0)=(1,0) e \mathbf{r}(\tfrac{\pi}{2})=(0,1). Ao aumentar t a partícula vai de (1,0) para (0,1), ou seja, sobe pelo semi-eixo positivo y — isso é o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio). A função trigonométrica usa t na forma \cos t,\sin t com coeficiente angular 1, então a velocidade angular é
\omega = 1\\ \text{rad/s}.
O período (tempo de uma volta completa) é
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi.

Passo 8

Exemplo contrastante (ajuda a fixar): se tivéssemos \mathbf{r}(t)=(\cos(2t),\sin(2t)), a derivada daria rapidez v(t)=2, período T=\pi e aceleração de magnitude 4 apontando para o centro (porque \mathbf{a}=-4\mathbf{r}). Isso mostra como mudar a parametrização altera a dinâmica mesmo mantendo a mesma curva geométrica.

Passo 9

Resumo físico e dicas para prova (rápido, motivador): aqui temos movimento circular uniforme, rapidez 1, aceleração centrípeta de magnitude 1 apontando para o centro, sentido anti-horário, período 2\pi. Na prova, para esse tipo de questão: derive componente a componente, calcule rapidez como norma da velocidade e verifique se \dfrac{d}{dt}v(t)=0 para decidir se é uniforme. Mantém a calma — você consegue!

Resposta

\mathbf{r}(0)=(1,0)
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(-\sin t)\,\mathbf{i}+(\cos t)\,\mathbf{j}
\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=(-\cos t)\,\mathbf{i}+(-\sin t)\,\mathbf{j}=-\mathbf{r}(t)
v(t)=\lVert\mathbf{v}(t)\rVert=1 (rapidez constante)
Movimento uniforme circular (sim); velocidade angular \omega=1 rad/s; período T=2\pi
Sentido: anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio)
Componentes da aceleração: a_{T}=0, a_{N}=1 (aceleração centrípeta de magnitude 1, apontando para o centro)

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