Calcule as integrais nos exercícios 21-26.
\int_{0}{1}\left[\frac{2}{\sqrt{1-t{2}}} i+\frac{\sqrt{3}}{1+t^{2}} k\right] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do vetor
\int_{0}^{1}\left[\frac{2}{\sqrt{1-t^{2}}}\mathbf{i}+\frac{\sqrt{3}}{1+t^{2}}\mathbf{k}\right]dt.
Informações dadas:
  • O integrando é um vetor com duas componentes escalares dependentes de t: a componente na direção \mathbf{i} é \frac{2}{\sqrt{1-t^{2}}} e a componente na direção \mathbf{k} é \frac{\sqrt{3}}{1+t^{2}}.
  • Os limites de integração são t=0 a t=1.
  • Pedem o valor da integral vetorial no intervalo dado.

Passo 2

Regra importante que vamos usar (explicando com calma): a integral de um vetor é feita componente por componente. Isso significa que
\int_{0}^{1}\left[f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{k}\right]dt = \left(\int_{0}^{1}f(t)\,dt\right)\mathbf{i}+\left(\int_{0}^{1}g(t)\,dt\right)\mathbf{k}.
Então podemos reduzir o problema a calcular duas integrais escalares: \int_{0}^{1}\frac{2}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt e \int_{0}^{1}\frac{\sqrt{3}}{1+t^{2}}\,dt. Isso deixa tudo mais simples e é a maneira padrão em prova — sempre que vir integral de vetor, pense componente a componente.

Passo 3

Calcule a primeira integral componente a componente:
\int_{0}^{1}\frac{2}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt.
Conhecimento útil (mini-aula): a primitiva de \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} é \arcsin t, porque a derivada de \arcsin t é \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}. Portanto uma primitiva da função multiplicada por 2 é 2\arcsin t. Assim
\int_{0}^{1}\frac{2}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt = \left[2\arcsin t\right]_{0}^{1}.
Agora avaliamos nos limites: \arcsin(1)=\frac{\pi}{2} e \arcsin(0)=0. Logo
\left[2\arcsin t\right]_{0}^{1} = 2\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=\pi.
Portanto a componente na direção \mathbf{i} é \pi.

Passo 4

Calcule a segunda integral:
\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{3}}{1+t^{2}}\,dt.
Mini-aula: a primitiva de \frac{1}{1+t^{2}} é \arctan t, porque a derivada de \arctan t é \frac{1}{1+t^{2}}. Multiplicando por \sqrt{3} a primitiva fica \sqrt{3}\arctan t. Então
\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{3}}{1+t^{2}}\,dt = \left[\sqrt{3}\arctan t\right]_{0}^{1}.
Avaliando nos limites: \arctan(1)=\frac{\pi}{4} e \arctan(0)=0. Portanto
\left[\sqrt{3}\arctan t\right]_{0}^{1} = \sqrt{3}\left(\frac{\pi}{4}-0\right)=\frac{\pi\sqrt{3}}{4}.
Assim a componente na direção \mathbf{k} é \dfrac{\pi\sqrt{3}}{4}.

Passo 5

Juntando as duas componentes (lembrando que a integral vetorial é soma das integrais das componentes), obtemos o vetor resultado:
\pi\,\mathbf{i}+\frac{\pi\sqrt{3}}{4}\,\mathbf{k}.
Pequeno incentivo: é exatamente esse tipo de conta que cai muito em prova — identificar primitiva direta (arcsin, arctan) e aplicar limites. Fica mais fácil com prática; você já mandou bem chegando até aqui.

Resposta

\pi\mathbf{i}+\dfrac{\pi\sqrt{3}}{4}\mathbf{k}

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