Calcule as integrais nos exercícios 21-26.
\int_{0}{1}\left[\frac{2}{\sqrt{1-t{2}}} i+\frac{\sqrt{3}}{1+t^{2}} k\right] d t
\int_{0}{1}\left[\frac{2}{\sqrt{1-t{2}}} i+\frac{\sqrt{3}}{1+t^{2}} k\right] d t
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral do vetor
Informações dadas:
- O integrando é um vetor com duas componentes escalares dependentes de
: a componente na direção é e a componente na direção é . - Os limites de integração são
a . - Pedem o valor da integral vetorial no intervalo dado.
Passo 2
Regra importante que vamos usar (explicando com calma): a integral de um vetor é feita componente por componente. Isso significa que
Então podemos reduzir o problema a calcular duas integrais escalares:
e
. Isso deixa tudo mais simples e é a maneira padrão em prova — sempre que vir integral de vetor, pense componente a componente.
Passo 3
Calcule a primeira integral componente a componente:
Conhecimento útil (mini-aula): a primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Portanto uma primitiva da função multiplicada por
é
. Assim
Agora avaliamos nos limites:
e
. Logo
Portanto a componente na direção
é
.
Passo 4
Calcule a segunda integral:
Mini-aula: a primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Multiplicando por
a primitiva fica
. Então
Avaliando nos limites:
e
. Portanto
Assim a componente na direção
é
.
Passo 5
Juntando as duas componentes (lembrando que a integral vetorial é soma das integrais das componentes), obtemos o vetor resultado:
Pequeno incentivo: é exatamente esse tipo de conta que cai muito em prova — identificar primitiva direta (arcsin, arctan) e aplicar limites. Fica mais fácil com prática; você já mandou bem chegando até aqui.