Como mencionado no texto, a reta tangente a uma curva lisa r(t)=f(t) i+g(t) j+h(t) k em t=t_{0} é a reta que passa pelo ponto \left(f\left(t_{0}\right), g\left(t_{0}\right), h\left(t_{0}\right)\right) e é paralela a v\left(t_{0}\right), o vetor velocidade da curva em t_{0}. Nos exercícios 33-36, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva dada em dado valor paramétrico t=t_{0}.
(t)=(\operatorname{sen} t) i+\left(t^{2}-\cos t\right) j+e^{t} k, _{0}=0
(t)=(\operatorname{sen} t) i+\left(t^{2}-\cos t\right) j+e^{t} k, _{0}=0
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede as equações paramétricas da reta tangente à curva no parâmetro
, com
.
Informações relevantes que temos:
Precisamos: equações paramétricas da reta tangente em
.
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo didático): a reta tangente à curva em
é a reta que passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor velocidade
.
é a reta que passa pelo ponto
Fórmula prática para a reta tangente (usando parâmetro que vou chamar de
):
onde
é o parâmetro da reta (quando
estamos no ponto de tangência).
Em coordenadas componentes, se e
, então
as equações paramétricas são
Em coordenadas componentes, se
as equações paramétricas são
Passo 3
Vamos calcular a derivada componente a componente (isto é, o vetor velocidade
).
Derivando:
-
. -
(porque ). -
.
Logo,
Passo 4
Agora avalio
em
para obter o ponto de tangência.
Calculemos cada componente em
:
,
,
.
Portanto
Passo 5
Avalio
em
para obter o vetor direção da reta.
Calculemos:
,
,
.
Portanto
Passo 6
Agora montamos a reta tangente usando a fórmula da Passo 2:
Escrevendo isso em equações paramétricas componentes:
Observação prática: como o segundo componente da direção é zero, a reta fica com
constante igual a
. Eliminando
entre
e
obtemos
(essa é uma forma alternativa sem parâmetro).
Passo 7
Interpretação rápida e checagem (para te deixar mais confiante): quando
a reta dá o ponto
, que é o ponto da curva em
. O vetor direção
é paralelo à velocidade naquele instante, então é realmente a reta tangente.