Como mencionado no texto, a reta tangente a uma curva lisa r(t)=f(t) i+g(t) j+h(t) k em t=t_{0} é a reta que passa pelo ponto \left(f\left(t_{0}\right), g\left(t_{0}\right), h\left(t_{0}\right)\right) e é paralela a v\left(t_{0}\right), o vetor velocidade da curva em t_{0}. Nos exercícios 33-36, encontre equações paramétricas para a reta que é tangente à curva dada em dado valor paramétrico t=t_{0}.
(t)=(\operatorname{sen} t) i+\left(t^{2}-\cos t\right) j+e^{t} k, _{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=\sin t\,\mathbf{i}+\bigl(t^{2}-\cos t\bigr)\,\mathbf{j}+e^{t}\,\mathbf{k}
e pede as equações paramétricas da reta tangente à curva no parâmetro t=t_{0}, com t_{0}=0.
Informações relevantes que temos:
\text{curva: }\mathbf{r}(t)=\bigl(\sin t,\;t^{2}-\cos t,\;e^{t}\bigr), \qquad t_{0}=0.
Precisamos: equações paramétricas da reta tangente em t=0.

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo didático): a reta tangente à curva em t=t_{0}
é a reta que passa pelo ponto \mathbf{r}(t_{0}) e tem direção dada pelo vetor velocidade
\mathbf{v}(t_{0})=\mathbf{r}'(t_{0}).
Fórmula prática para a reta tangente (usando parâmetro que vou chamar de u):
\mathbf{L}(u)=\mathbf{r}(t_{0})+u\,\mathbf{r}'(t_{0}),
onde u é o parâmetro da reta (quando u=0 estamos no ponto de tangência).
Em coordenadas componentes, se \mathbf{r}(t_{0})=(x_{0},y_{0},z_{0}) e
\mathbf{r}'(t_{0})=(v_{x},v_{y},v_{z}), então
as equações paramétricas são
x=x_{0}+u v_{x},\qquad y=y_{0}+u v_{y},\qquad z=z_{0}+u v_{z}.

Passo 3

Vamos calcular a derivada componente a componente (isto é, o vetor velocidade \mathbf{r}'(t)).
Derivando:
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(\sin t\bigr)=\cos t.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}-\cos t\bigr)=2t+\sin t (porque \dfrac{d}{dt}(-\cos t)=\sin t).
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t}.
Logo,
\mathbf{r}'(t)=\bigl(\cos t,\;2t+\sin t,\;e^{t}\bigr).

Passo 4

Agora avalio \mathbf{r}(t) em t_{0}=0 para obter o ponto de tangência.
Calculemos cada componente em t=0:
\sin 0=0, \;0^{2}-\cos 0=0-1=-1, \;e^{0}=1.
Portanto
\mathbf{r}(0)=\bigl(0,\,-1,\,1\bigr).

Passo 5

Avalio \mathbf{r}'(t) em t_{0}=0 para obter o vetor direção da reta.
Calculemos:
\cos 0=1, \;2\cdot 0+\sin 0=0, \;e^{0}=1.
Portanto
\mathbf{r}'(0)=\bigl(1,\,0,\,1\bigr).

Passo 6

Agora montamos a reta tangente usando a fórmula da Passo 2:
\mathbf{L}(u)=\mathbf{r}(0)+u\,\mathbf{r}'(0)=\bigl(0,-1,1\bigr)+u\bigl(1,0,1\bigr).
Escrevendo isso em equações paramétricas componentes:
x(u)=0+u= u, \qquad y(u)=-1+0\cdot u = -1, \qquad z(u)=1+u.
Observação prática: como o segundo componente da direção é zero, a reta fica com y constante igual a -1. Eliminando u entre x=u e z=1+u obtemos z=1+x (essa é uma forma alternativa sem parâmetro).

Passo 7

Interpretação rápida e checagem (para te deixar mais confiante): quando u=0 a reta dá o ponto (0,-1,1), que é o ponto da curva em t=0. O vetor direção (1,0,1) é paralelo à velocidade naquele instante, então é realmente a reta tangente.

Resposta

\mathbf{L}(u)=\bigl(0,-1,1\bigr)+u\bigl(1,0,1\bigr)
x(u)=u,\qquad y(u)=-1,\qquad z(u)=1+u

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