Cada uma das equações de (a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem mesma trajetória - o círculo unitário
. Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às questões a seguir.
Passo 1
O enunciado nos dá a função posição
As perguntas que vou responder sobre esta partícula (as que normalmente aparecem nesse tipo de exercício) são:
- Qual é a trajetória (equação geométrica)?
- Qual é a posição inicial
? - Qual é o vetor velocidade
e qual é a sua velocidade escalar (módulo) ? - Qual é o vetor aceleração
e sua interpretação? - Em que sentido a partícula se move (horário ou anti-horário / sentido horário ou sentido anti-horário)?
- Qual é a velocidade angular (ou pulsação) e o período (tempo para uma volta)?
- O movimento é uniforme? (há componente tangencial da aceleração?)
- Componentes tangencial e normal da aceleração e relação com a aceleração centrípeta.
Vou resolver passo a passo cada uma dessas perguntas.
Passo 2
Trajetória (equação geométrica).
Escrevo as componentes como e
. Então
Escrevo as componentes como
pela identidade trigonométrica
. Portanto a trajetória é o círculo unitário
Isto mostra que a partícula está se movendo sobre o círculo de raio
centrado na origem.
Passo 3
Posição inicial
.
Avalio em
:
Avalio
Logo a partícula começa no ponto
do círculo.
Passo 4
Vetor velocidade
.
Derivo componente a componente. Lembre que a regra da cadeia diz: se então
.
Assim
Derivo componente a componente. Lembre que a regra da cadeia diz: se
Assim
Este vetor é tangente à trajetória em cada instante (porque é a derivada da posição).
Passo 5
Velocidade escalar (módulo)
.
Calculo o módulo de :
Calculo o módulo de
Portanto a velocidade escalar é constante e igual a
.
Passo 6
Vetor aceleração
.
Derivo :
Derivo
Nota útil: isso pode ser escrito como
Isto mostra que a aceleração está sempre apontando para o centro do círculo (origem) e tem módulo constante
.
Passo 7
Sentido do movimento (horário ou anti-horário).
Uma maneira simples é olhar para . Avaliando
em
obtenho
Uma maneira simples é olhar para
ou seja, em
a velocidade é para cima (sentido positivo do eixo
). Como a posição inicial é
e a partícula sobe ao sair desse ponto, ela percorre o círculo no sentido anti-horário (sentido contrá‑rio ao dos ponteiros do relógio).
Passo 8
Velocidade angular
e período
.
A parametrização é . A forma padrão para movimento circular uniforme é
, portanto a velocidade angular é
A parametrização é
O período (tempo para uma volta completa) é
Logo a partícula completa uma volta em tempo
.
Passo 9
Uniformidade do movimento e componentes tangencial/normal da aceleração.
Como a velocidade escalar é constante (igual a
), o movimento é uniforme; não há aceleração tangencial. Posso confirmar calculando a componente tangencial
:
Como a velocidade escalar
Calculo o produto escalar
:
Logo
. A componente normal
tem módulo
Já sabemos
e
, então
. Também pela fórmula da aceleração centrípeta
com
e
obtemos
, consistente.
Passo 10
Interpretação física curta e motivação para a prova.
- A partícula realiza um Movimento Circular Uniforme (MCU) no círculo de raio
. - A velocidade angular
relaciona-se com a velocidade linear por , aqui . - A aceleração é puramente centrípeta, apontando para o centro, com expressão vetorial
e módulo .
Resposta
Trajetória:
.
Posição inicial: .
Velocidade: .
Velocidade escalar: (constante).
Aceleração: .
Sentido do movimento: anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio).
Velocidade angular: .
Período: .
Movimento uniforme: sim (componente tangencial ).
Componente normal (centrípeta): (direção para o centro).
Posição inicial:
Velocidade:
Velocidade escalar:
Aceleração:
Sentido do movimento: anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio).
Velocidade angular:
Período:
Movimento uniforme: sim (componente tangencial
Componente normal (centrípeta):