Cada uma das equações de (a) a (e) descreve o movimento de uma partícula que tem mesma trajetória - o círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Embora a trajetória de cada partícula de (a) a (e) seja a mesma, o comportamento, ou a “dinâmica”, de cada partícula é diferente. Para cada partícula, responda às questões a seguir.
\mathbf{r}(t)=\cos (2 t) \mathbf{i}+\operatorname{sen}(2 t) \mathbf{j}, \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado nos dá a função posição
\mathbf{r}(t)=\cos(2t)\,\mathbf{i}+\sin(2t)\,\mathbf{j},\quad t\ge 0.
As perguntas que vou responder sobre esta partícula (as que normalmente aparecem nesse tipo de exercício) são:
  1. Qual é a trajetória (equação geométrica)?
  2. Qual é a posição inicial \mathbf{r}(0)?
  3. Qual é o vetor velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) e qual é a sua velocidade escalar (módulo) |\mathbf{v}(t)|?
  4. Qual é o vetor aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t) e sua interpretação?
  5. Em que sentido a partícula se move (horário ou anti-horário / sentido horário ou sentido anti-horário)?
  6. Qual é a velocidade angular (ou pulsação) e o período (tempo para uma volta)?
  7. O movimento é uniforme? (há componente tangencial da aceleração?)
  8. Componentes tangencial e normal da aceleração e relação com a aceleração centrípeta.
Vou resolver passo a passo cada uma dessas perguntas.

Passo 2

Trajetória (equação geométrica).
Escrevo as componentes como x(t)=\cos(2t) e y(t)=\sin(2t). Então
x(t)^2+y(t)^2=\cos^2(2t)+\sin^2(2t)=1,
pela identidade trigonométrica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. Portanto a trajetória é o círculo unitário
x^2+y^2=1.
Isto mostra que a partícula está se movendo sobre o círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Posição inicial \mathbf{r}(0).
Avalio \mathbf{r}(t) em t=0:
\mathbf{r}(0)=\cos(0)\,\mathbf{i}+\sin(0)\,\mathbf{j}=1\cdot\mathbf{i}+0\cdot\mathbf{j}=\mathbf{i}.
Logo a partícula começa no ponto (1,0) do círculo.

Passo 4

Vetor velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t).
Derivo componente a componente. Lembre que a regra da cadeia diz: se u(t)=\cos(2t) então u'(t)=-\sin(2t)\cdot(2).
Assim
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}\big(\cos(2t)\big)\,\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\big(\sin(2t)\big)\,\mathbf{j} = -2\sin(2t)\,\mathbf{i}+2\cos(2t)\,\mathbf{j}.
Este vetor é tangente à trajetória em cada instante (porque é a derivada da posição).

Passo 5

Velocidade escalar (módulo) |\mathbf{v}(t)|.
Calculo o módulo de \mathbf{v}(t):
|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{(-2\sin(2t))^{2}+(2\cos(2t))^{2}} =\sqrt{4\sin^{2}(2t)+4\cos^{2}(2t)} =\sqrt{4(\sin^{2}(2t)+\cos^{2}(2t))} =\sqrt{4}=2.
Portanto a velocidade escalar é constante e igual a 2.

Passo 6

Vetor aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t).
Derivo \mathbf{v}(t):
\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\frac{d}{dt}\big(-2\sin(2t)\big)\,\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\big(2\cos(2t)\big)\,\mathbf{j} =-4\cos(2t)\,\mathbf{i}-4\sin(2t)\,\mathbf{j}.
Nota útil: isso pode ser escrito como
\mathbf{a}(t)=-4\big(\cos(2t)\,\mathbf{i}+\sin(2t)\,\mathbf{j}\big)=-4\,\mathbf{r}(t).
Isto mostra que a aceleração está sempre apontando para o centro do círculo (origem) e tem módulo constante 4.

Passo 7

Sentido do movimento (horário ou anti-horário).
Uma maneira simples é olhar para \mathbf{v}(0). Avaliando \mathbf{v}(t) em t=0 obtenho
\mathbf{v}(0)=-2\sin(0)\,\mathbf{i}+2\cos(0)\,\mathbf{j}=0\cdot\mathbf{i}+2\cdot\mathbf{j}=2\,\mathbf{j},
ou seja, em t=0 a velocidade é para cima (sentido positivo do eixo y). Como a posição inicial é (1,0) e a partícula sobe ao sair desse ponto, ela percorre o círculo no sentido anti-horário (sentido contrá‑rio ao dos ponteiros do relógio).

Passo 8

Velocidade angular \omega e período T.
A parametrização é \mathbf{r}(t)=(\cos(2t),\sin(2t)). A forma padrão para movimento circular uniforme é (\cos(\omega t),\sin(\omega t)), portanto a velocidade angular é
\omega=2\\ \text{rad/s}.
O período (tempo para uma volta completa) é
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Logo a partícula completa uma volta em tempo T=\pi.

Passo 9

Uniformidade do movimento e componentes tangencial/normal da aceleração.
Como a velocidade escalar |\mathbf{v}(t)| é constante (igual a 2), o movimento é uniforme; não há aceleração tangencial. Posso confirmar calculando a componente tangencial a_{T}:
a_{T}=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{|\mathbf{v}|}.
Calculo o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=(-2\sin(2t))(-4\cos(2t))+(2\cos(2t))(-4\sin(2t))=8\sin(2t)\cos(2t)-8\cos(2t)\sin(2t)=0.
Logo a_{T}=0. A componente normal a_{N} tem módulo
a_{N}=\frac{|\mathbf{v}\times\mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|}\quad\text{(ou }a_{N}=\sqrt{|\mathbf{a}|^{2}-a_{T}^{2}}\text{)}.
Já sabemos |\mathbf{a}|=4 e a_{T}=0, então a_{N}=4. Também pela fórmula da aceleração centrípeta a_{N}=v^{2}/R com v=2 e R=1 obtemos a_{N}=4, consistente.

Passo 10

Interpretação física curta e motivação para a prova.
  • A partícula realiza um Movimento Circular Uniforme (MCU) no círculo de raio 1.
  • A velocidade angular \omega=2 relaciona-se com a velocidade linear por v=\omega R, aqui 2=2\cdot 1.
  • A aceleração é puramente centrípeta, apontando para o centro, com expressão vetorial \mathbf{a}(t)=-4\,\mathbf{r}(t) e módulo 4.

Resposta

Trajetória: x^{2}+y^{2}=1.
Posição inicial: \mathbf{r}(0)=\mathbf{i}=(1,0).
Velocidade: \mathbf{v}(t)=-2\sin(2t)\,\mathbf{i}+2\cos(2t)\,\mathbf{j}.
Velocidade escalar: |\mathbf{v}(t)|=2 (constante).
Aceleração: \mathbf{a}(t)=-4\cos(2t)\,\mathbf{i}-4\sin(2t)\,\mathbf{j}=-4\,\mathbf{r}(t).
Sentido do movimento: anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio).
Velocidade angular: \omega=2\\ \text{rad/s}.
Período: T=\pi.
Movimento uniforme: sim (componente tangencial a_{T}=0).
Componente normal (centrípeta): a_{N}=4 (direção para o centro).

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