Para cada uma das equações diferenciais abaixo, pede-se:
I. Mostre que
dado é um ponto ordinário e encontre uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série centrada em
.
II. Encontre uma relação de recorrência para os coeficientes
da solução
.
III. Sabendo que
é a solução geral da equação, escreva as séries de potências para
e
até o quinto termo não nulo.
(a)
(b)
(c)
(d)
I. Mostre que
II. Encontre uma relação de recorrência para os coeficientes
III. Sabendo que
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Estamos diante de quatro equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e queremos, para cada uma delas, I) verificar que
é ponto ordinário e dar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série em torno de
, II) obter a relação de recorrência para os coeficientes
na ansatz
e III) escrever as duas séries independentes
e
(com
e
) até o quinto termo não nulo.
Passo 2
Para decidir se
é ponto ordinário e estimar o raio de convergência, basta olhar para o coeficiente de
(chamado
) e para as funções
,
no formato padrão
Se
,
é ponto ordinário e o raio de convergência da série em torno de
é pelo menos a distância até o zero mais próximo de
no plano complexo. Aplicando isso a cada caso:
(a)
em
: aqui
nunca zera, logo
é ordinário e
.
(b) mesma equação em : idem,
.
(c) em
:
zera em
, distância mínima até
é
, logo
.
(d) em
:
nunca zera, então
é ordinário e
.
(b) mesma equação em
(c)
(d)
Passo 3
Fazemos
, calculamos
e
, substituímos na EDO, alinhamos potências e igualamos coeficientes a zero. O resultado para cada equação é:
(a) para
em
:
(b) para
em
(escrevendo
):
(c) para
em
:
(d) para
em
(com
):
Passo 4
Séries até o quinto termo não nulo para o caso (a), onde
,
:
-
:
-
:
Passo 5
Séries para o caso (b),
:
-
:
-
:
Passo 6
Séries para o caso (c), em torno de
:
-
: a cada dois passos aparece só até , depois zera
-
: não há mais que até
Passo 7
Séries para o caso (d), em torno de
com
:
-
:
-
:
Resposta
(a)
ordinário,
,
,
,
.
(b)
ordinário,
,
,
,
, onde
.
(c)
ordinário,
,
,
(d)
ordinário,
,
,
,
, onde
.