Para cada uma das equações diferenciais abaixo, pede-se:
I. Mostre que x_{0} \in \mathbb{R} dado é um ponto ordinário e encontre uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série centrada em x_{0}.
II. Encontre uma relação de recorrência para os coeficientes a_{n} da solução y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}.
III. Sabendo que y(x)=a_{0} y_{1}(x)+a_{1} y_{2}(x) é a solução geral da equação, escreva as séries de potências para y_{1} e y_{2} até o quinto termo não nulo.
(a) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-y=0, x_{0}=0
(b) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-y=0, x_{0}=1
(c) \left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0, x_{0}=0
(d) 2 y^{\prime \prime}+(x+1) y^{\prime}+3 y=0, x_{0}=2

Passo 1

Estamos diante de quatro equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e queremos, para cada uma delas, I) verificar que x_{0} é ponto ordinário e dar uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série em torno de x_{0}, II) obter a relação de recorrência para os coeficientes a_{n} na ansatz
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\bigl(x-x_{0}\bigr)^{n},
e III) escrever as duas séries independentes y_{1} e y_{2} (com a_{0}=1,a_{1}=0 e a_{0}=0,a_{1}=1) até o quinto termo não nulo.

Passo 2

Para decidir se x_{0} é ponto ordinário e estimar o raio de convergência, basta olhar para o coeficiente de y'' (chamado P(x)) e para as funções \frac{Q(x)}{P(x)}, \frac{R(x)}{P(x)} no formato padrão
P(x)\,y''+Q(x)\,y'+R(x)\,y=0.
Se P(x_{0})\neq0, x_{0} é ponto ordinário e o raio de convergência da série em torno de x_{0} é pelo menos a distância até o zero mais próximo de P(x) no plano complexo. Aplicando isso a cada caso:
(a) y''-x\,y'-y=0 em x_{0}=0: aqui P(x)=1 nunca zera, logo x_{0}=0 é ordinário e r\ge\infty.
(b) mesma equação em x_{0}=1: idem, r\ge\infty.
(c) (1+x^{2})y''-4x\,y'+6y=0 em x_{0}=0: P(x)=1+x^{2} zera em x=\pm i, distância mínima até 0 é 1, logo r\ge1.
(d) 2y''+(x+1)y'+3y=0 em x_{0}=2: P(x)=2 nunca zera, então x_{0}=2 é ordinário e r\ge\infty.

Passo 3

Fazemos y=\sum_{n=0}^\infty a_{n}(x-x_{0})^{n}, calculamos y' e y'', substituímos na EDO, alinhamos potências e igualamos coeficientes a zero. O resultado para cada equação é:
(a) para y''-x\,y'-y=0 em x_{0}=0:
a_{n+2}=\frac{a_{n}}{n+2},\quad n\ge0.
(b) para y''-x\,y'-y=0 em x_{0}=1 (escrevendo t=x-1):
a_{n+2}=\frac{a_{n}+a_{n+1}}{n+2},\quad n\ge0.
(c) para (1+x^{2})y''-4x\,y'+6y=0 em x_{0}=0:
a_{n+2}=-\frac{(n-2)(n-3)}{(n+2)(n+1)}\,a_{n},\quad n\ge0.
(d) para 2y''+(x+1)y'+3y=0 em x_{0}=2 (com t=x-2):
a_{n+2}=-\frac{(n+3)\,a_{n}+3(n+1)\,a_{n+1}}{2(n+2)(n+1)},\quad n\ge0.

Passo 4

Séries até o quinto termo não nulo para o caso (a), onde x_{0}=0, y=\sum a_{n}x^{n}:
  • y_{1} a_{0}=1,a_{1}=0:
a_{2}=\tfrac1{2},\quad a_{4}=\tfrac1{2\cdot4},\quad a_{6}=\tfrac1{2\cdot4\cdot6},\dots
y_{1}(x)=1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2\cdot4}+\frac{x^{6}}{2\cdot4\cdot6}+\frac{x^{8}}{2\cdot4\cdot6\cdot8}+\cdots
  • y_{2} a_{0}=0,a_{1}=1:
a_{3}=\tfrac1{3},\quad a_{5}=\tfrac1{3\cdot5},\quad a_{7}=\tfrac1{3\cdot5\cdot7},\dots
y_{2}(x)=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{3\cdot5}+\frac{x^{7}}{3\cdot5\cdot7}+\frac{x^{9}}{3\cdot5\cdot7\cdot9}+\cdots

Passo 5

Séries para o caso (b), t=x-1:
  • y_{1} a_{0}=1,a_{1}=0:
a_{2}=\tfrac12,\quad a_{3}=\tfrac1{6},\quad a_{4}=\tfrac1{6},\quad a_{5}=\tfrac1{15},\dots
y_{1}(t)=1+\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{6}+\frac{t^{4}}{6}+\frac{t^{5}}{15}+\cdots
  • y_{2} a_{0}=0,a_{1}=1:
a_{2}=\tfrac12,\quad a_{3}=\tfrac12,\quad a_{4}=\tfrac14,\quad a_{5}=\tfrac{3}{20},\dots
y_{2}(t)=t+\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{2}+\frac{t^{4}}{4}+\frac{3\,t^{5}}{20}+\cdots

Passo 6

Séries para o caso (c), em torno de 0:
  • y_{1} a_{0}=1,a_{1}=0: a cada dois passos aparece só até n=2, depois zera
y_{1}(x)=1-3x^{2}.
  • y_{2} a_{0}=0,a_{1}=1: não há mais que até n=3
y_{2}(x)=x-\frac{x^{3}}{3}.

Passo 7

Séries para o caso (d), em torno de x_{0}=2 com t=x-2:
  • y_{1} a_{0}=1,a_{1}=0:
a_{2}=-\tfrac{3}{4},\;a_{3}=\tfrac{3}{8},\;a_{4}=\tfrac{1}{64},\;a_{5}=-\tfrac{39}{640},\dots
y_{1}(t)=1-\frac{3}{4}t^{2}+\frac{3}{8}t^{3}+\frac{1}{64}t^{4}-\frac{39}{640}t^{5}+\cdots
  • y_{2} a_{0}=0,a_{1}=1:
a_{2}=-\tfrac{3}{4},\;a_{3}=\tfrac{1}{24},\;a_{4}=\tfrac{9}{64},\;a_{5}=-\tfrac{31}{640},\dots
y_{2}(t)=t-\frac{3}{4}t^{2}+\frac{1}{24}t^{3}+\frac{9}{64}t^{4}-\frac{31}{640}t^{5}+\cdots

Resposta

(a) x_{0}=0 ordinário, r\ge\infty, \displaystyle a_{n+2}=\frac{a_{n}}{n+2}, y_{1}=1+\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{4}}{8}+\tfrac{x^{6}}{48}+\tfrac{x^{8}}{384}+\cdots, y_{2}=x+\tfrac{x^{3}}{3}+\tfrac{x^{5}}{15}+\tfrac{x^{7}}{105}+\tfrac{x^{9}}{945}+\cdots.
(b) x_{0}=1 ordinário, r\ge\infty, \displaystyle a_{n+2}=\frac{a_{n}+a_{n+1}}{n+2}, y_{1}=1+\tfrac{t^{2}}{2}+\tfrac{t^{3}}{6}+\tfrac{t^{4}}{6}+\tfrac{t^{5}}{15}+\cdots, y_{2}=t+\tfrac{t^{2}}{2}+\tfrac{t^{3}}{2}+\tfrac{t^{4}}{4}+\tfrac{3t^{5}}{20}+\cdots, onde t=x-1.
(c) x_{0}=0 ordinário, r\ge1, \displaystyle a_{n+2}=-\frac{(n-2)(n-3)}{(n+2)(n+1)}\,a_{n}, y_{1}=1-3x^{2},\quad y_{2}=x-\tfrac{x^{3}}{3}. (d) x_{0}=2 ordinário, r\ge\infty, \displaystyle a_{n+2}=-\frac{(n+3)a_{n}+3(n+1)a_{n+1}}{2(n+2)(n+1)}, y_{1}=1-\tfrac{3}{4}t^{2}+\tfrac{3}{8}t^{3}+\tfrac{1}{64}t^{4}-\tfrac{39}{640}t^{5}+\cdots, y_{2}=t-\tfrac{3}{4}t^{2}+\tfrac{1}{24}t^{3}+\tfrac{9}{64}t^{4}-\tfrac{31}{640}t^{5}+\cdots, onde t=x-2.

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