Encontre a série de Taylor das funções abaixo centradas em x_{0} \in \mathbb{R} dado e determine o raio de convergência.
f(x)=\frac{1}{x^{2}}, x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\frac{1}{x^{2}} centrada em x_{0}=1 e o raio de convergência. Para isso vamos usar a definição
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(1)}{n!}\,(x-1)^{n}
e o teste da razão para achar o raio.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada de ordem n de f. Note que
f(x)=x^{-2},\quad f'(x)=-2x^{-3},\quad f''(x)=(-2)(-3)\,x^{-4},\;\dots
Por indução mostra-se
f^{(n)}(x)=(-1)^{n}(n+1)!\;x^{-(n+2)}.

Passo 3

Avaliaremos em x=1:
f^{(n)}(1)=(-1)^{n}(n+1)!.
Assim o coeficiente geral da série é
a_{n}=\frac{f^{(n)}(1)}{n!}=(-1)^{n}(n+1).
Portanto a série de Taylor fica
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)\,(x-1)^{n}.

Passo 4

Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão aos coeficientes a_{n}:
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{\,n+1\,}=1.
Isso mostra que a série converge para \lvert x-1\rvert<1, logo o raio é R=1.
Também faz sentido pois f tem singularidade em x=0, a uma unidade de 1.

Resposta

A série de Taylor de \tfrac1{x^{2}} centrada em x_{0}=1 é
\frac{1}{x^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)\,(x-1)^{n},
e o raio de convergência é R=1.

Exercícios relacionados