Considere a função
f(x, y)=\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}
(a) (1.0) Qual o domínio dessa função?
(b) (1.0) Qual é a imagem dessa função?
(c) (1.0) Calcule as curvas de nível da função f.
(d) (1.0) Calcule
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)
(e) (1.0) Essa função é contínua em todo o seu domínio?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\sqrt{16 - x^2 - y^2}
e pede:
(a) domínio, isto é, onde o radicando é não-negativo;
(b) imagem, ou seja, os valores que f assume;
(c) as curvas de nível f(x,y)=c;
(d) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y);
(e) se f é contínua em todo o domínio.

Passo 2

Para o domínio precisamos que o interior da raiz seja \ge0. Logo
16 - x^2 - y^2 \ge 0
\iff x^2 + y^2 \le 16.
Assim,
\text{Dom}(f)=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le16\bigr\},
ou seja, o disco de raio 4 centrado na origem.

Passo 3

A imagem de f vai desde o valor mínimo, obtido quando 16 - x^2 - y^2=0, até o máximo, obtido quando x^2+y^2 é mínimo. No disco temos
mínimo de f:
16 - x^2 - y^2=0\implies f=0,
máximo de f:
x^2+y^2=0\implies(x,y)=(0,0)\implies f(0,0)=\sqrt{16}=4.
Portanto
\text{Im}(f)=[0,4].

Passo 4

As curvas de nível são as soluções de
f(x,y)=c,\quad c\in\mathbb{R}.
Isso dá
\sqrt{16 - x^2 - y^2}=c \quad\Longrightarrow\quad 16 - x^2 - y^2 = c^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 = 16 - c^2.
Para que isso faça sentido precisamos de 16 - c^2\ge0, ou seja c\in[0,4]. Cada curva de nível é, portanto, um círculo de raio r=\sqrt{16 - c^2}, centro na origem. Em particular, para c=4 temos o ponto (0,0), e para c=0 o círculo de raio 4.

Passo 5

O limite em (0,0) é direto, pois
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\sqrt{16 - x^2 - y^2} =\sqrt{16 - 0 - 0} =4.

Passo 6

A função f é composição de polinômios e da raiz quadrada. O polinômio 16 - x^2 - y^2 é contínuo em todo \mathbb{R}^2, e a função \sqrt{\;\cdot\;} é contínua em [0,\infty). Como o domínio garante 16 - x^2 - y^2\ge0, concluímos que f é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le16\}.
(b) [0,4].
(c) \displaystyle f(x,y)=c\implies x^2+y^2=16-c^2, com c\in[0,4] (círculos de raio \sqrt{16-c^2}).
(d) 4.
(e) Sim, f é contínua em todo o domínio.

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