Considere a função
(a) (1.0) Qual o domínio dessa função?
(b) (1.0) Qual é a imagem dessa função?
(c) (1.0) Calcule as curvas de nível da função
.
(d) (1.0) Calcule
(e) (1.0) Essa função é contínua em todo o seu domínio?
(b) (1.0) Qual é a imagem dessa função?
(c) (1.0) Calcule as curvas de nível da função
(d) (1.0) Calcule
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
(a) domínio, isto é, onde o radicando é não-negativo;
(b) imagem, ou seja, os valores que assume;
(c) as curvas de nível ;
(d) ;
(e) se é contínua em todo o domínio.
(a) domínio, isto é, onde o radicando é não-negativo;
(b) imagem, ou seja, os valores que
(c) as curvas de nível
(d)
(e) se
Passo 2
Para o domínio precisamos que o interior da raiz seja
. Logo
Assim,
ou seja, o disco de raio
centrado na origem.
Passo 3
A imagem de
vai desde o valor mínimo, obtido quando
, até o máximo, obtido quando
é mínimo. No disco temos
mínimo de :
mínimo de
máximo de
:
Portanto
Passo 4
As curvas de nível são as soluções de
Isso dá
Para que isso faça sentido precisamos de
, ou seja
. Cada curva de nível é, portanto, um círculo de raio
centro na origem. Em particular, para
temos o ponto
, e para
o círculo de raio
.
Passo 5
O limite em
é direto, pois
Passo 6
A função
é composição de polinômios e da raiz quadrada. O polinômio
é contínuo em todo
, e a função
é contínua em
. Como o domínio garante
, concluímos que
é contínua em todo o seu domínio.
Resposta
(a)
(b)
(c) , com
(círculos de raio
).
(d) .
(e) Sim, é contínua em todo o domínio.
(b)
(c)
(d)
(e) Sim,