- Para cada uma das equações diferenciais parciais a seguir, determine se é possível escrever
e separe as variáveis para obter duas equações diferenciais ordinárias em
e
. Se for possível, resolva essas equações.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede, para cada uma das quatro equações diferenciais parciais, que eu verifique se é possível procurar soluções do tipo
, que eu faça a separação de variáveis (se possível) e que eu resolva as equações ordinárias obtidas.
Informações dadas (lista das PDEs):
Informações dadas (lista das PDEs):
Não faço nenhuma resolução neste passo — apenas identifiquei o que é pedido e listei as equações.
Passo 2
Método geral: suponho
. Sempre que eu usar essa hipótese, substituo na PDE, divido por
quando possível e tento escrever a igualdade como uma função só de
igual a uma função só de
. Essa igualdade só pode acontecer se ambas forem iguais a uma constante de separação, que chamo de
. Vou aplicar esse procedimento a cada item.
Passo 3
Começo com
. Supondo
tenho:
Substituindo na PDE:
Divido por
(assumindo
e
não nulos):
Reescrevo isolando termos para obter funções puras de
e de
:
Agora o lado esquerdo depende só de
e o lado direito só de
. Logo ambos devem ser iguais a uma constante, que chamo
. Assim obtemos as ODEs:
Passo 4
A ODE para
é
Essa equação é a equação de Airy (após escala), conhecida. Faço a mudança de variável
Como
e
, a equação fica
que é a equação padrão de Airy. A solução geral é
onde
e
são as funções de Airy e
são constantes arbitrárias.
Observação especial: se , a equação para
é
, cuja solução elementar é
Observação especial: se
Passo 5
A ODE para
é
Essa equação tem coeficiente singular em
. Para
temos
e então
Para
a equação pode ser transformada em uma equação do tipo de Bessel modificada por meio da mudança de variável
Fazendo a transformação adequada (passando a função de
e reescalando), obtém-se uma equação equivalente cuja solução geral pode ser escrita em termos das funções de Bessel modificadas de primeira e segunda espécie. O resultado é
onde
e
são as funções de Bessel modificadas de ordem
e
são constantes arbitrárias. (Essa forma é padrão ao transformar
por
.)
Resumo do item (a): a separação é possível; as ODEs resultantes são
com
dado em termos de funções de Airy e
em termos de funções de Bessel modificadas (caso
), e casos elementares para
.
Passo 6
PDE:
. Supondo
:
Divido por
:
Escrevo como
O lado esquerdo depende só de
; o lado direito depende de
e
. Para que isso seja possível para todos
, a dependência em
do lado direito deve desaparecer. A forma
só perde a dependência em
se
para todo
. Portanto necessariamente
Substituindo
na equação original obtém-se
ou simplesmente
, logo
é constante:
Conclusão: a separação só produz soluções separáveis do tipo trivial em produto de função linear em
por constante em
. Não há separação não-trivial com
e
ambos não-constantes.
Passo 7
PDE:
. Supondo
obtemos:
Dividindo por
:
O problema é o termo misto
: é um produto de uma função só de
por uma função só de
, e isso impede em geral escrever a soma como função só de
igual a função só de
. Para tentar uma separação não-trivial seria preciso que
e
fossem constantes, digamos
e
, o que daria exponentiais
,
. Substituindo isso na equação dá
Isso exige
e
, logo
e então
são constantes — solução trivial. Portanto não existe separação não-trivial da forma
para essa PDE. Só soluções separáveis triviais (constantes) aparecem.
Passo 8
PDE:
. Com
tenho
Dividindo por
:
O lado esquerdo depende só de
, o direito só de
, logo ambos iguais a uma constante
. Obtenho as ODEs:
Passo 9
A equação para
é linear com coeficientes constantes:
A solução depende do sinal de
:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Passo 10
A equação para
é de coeficientes constantes:
A equação característica é
. As raízes são
Logo a solução geral é
com
constantes. (Casos degenerados quando
tratam-se por termos com fator
multiplicando a exponencial, como de costume.)
Resposta
(a) Separação possível. As ODEs são
Soluções:
(ou
se
); e para
(com
se
), onde
são funções de Bessel modificadas de ordem
.
(b) Separação só trivial. A hipótese força
e
, ou seja
(b) Separação só trivial. A hipótese
(c) Não é possível separar (salvo solução trivial constante): não existem soluções não-triviais da forma
.
(d) Separação possível. As ODEs são
(d) Separação possível. As ODEs são
Soluções:
é combinação linear de exponenciais ou de seno/cosseno conforme o sinal de
(ver passo 9), e