Considere \alpha=\sqrt{7}-i.
(a) (1 ponto) Determine o polinômio mínimo p_{\alpha} \in \mathbb{Q}[x]. (Se não justificar que o candidato a polinômio mínimo é de fato o polinômio mínimo, a nota máxima é 60 \% no item)
(b) ( 0,5 ponto) Construa o corpo \mathbb{Q}[\alpha].

Passo 1

O enunciado dá \alpha=\sqrt{7}-i e pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o polinômio mínimo p_{\alpha}\in\mathbb{Q}[x] e justificar que o candidato é de facto o polinómio mínimo (ou seja, monico, tem \alpha como raiz e é irreducível em \mathbb{Q}[x]).
  2. (b) Construir o corpo \mathbb{Q}[\alpha] (descrever o que é, dar uma base como espaço vetorial sobre \mathbb{Q} e relacioná-lo com \mathbb{Q}(i,\sqrt{7}) se for o caso).
Informações relevantes dadas: \alpha=\sqrt{7}-i, onde \sqrt{7} é a raiz positiva de 7 e i é a unidade imaginária com i^2=-1.

Passo 2

Encontrar uma relação polinomial com coeficientes racionais que \alpha satisfaz. Uma maneira direta é usar a definição de \alpha. Seja s=\sqrt{7}. Então
\alpha = s - i.
Reescrevendo, \alpha - s = -i. Elevando ao quadrado temos
(\alpha - s)^2 = (-i)^2 = -1.
Desenvolvendo o quadrado e usando s^2=7 obtemos
\alpha^2 - 2s\alpha + s^2 = -1.
Como s^2=7,
\alpha^2 - 2s\alpha + 7 = -1.
Logo
\alpha^2 - 2s\alpha + 8 = 0.
Essa é uma equação que contém s. O próximo passo é eliminar s (que não é racional) para obter um polinómio em \alpha com coeficientes racionais.

Passo 3

Da equação
\alpha^2 - 2s\alpha + 8 = 0
isolamos s:
2s\alpha = \alpha^2 + 8 \quad\Rightarrow\quad s = \frac{\alpha^2 + 8}{2\alpha}.
Agora usamos s^2=7. Substituindo s pelo racional em \alpha obtemos
\left(\frac{\alpha^2 + 8}{2\alpha}\right)^2 = 7.
Multiplicando ambos os lados por 4\alpha^2 vem
(\alpha^2 + 8)^2 = 28\alpha^2.
Expandindo o lado esquerdo,
\alpha^4 + 16\alpha^2 + 64 = 28\alpha^2.
Passando todos os termos para um lado,
\alpha^4 - 12\alpha^2 + 64 = 0.
Portanto \alpha é raiz do polinómio
p(x)=x^4 - 12x^2 + 64\in\mathbb{Q}[x].

Passo 4

Verificámos que p(\alpha)=0. Agora precisamos justificar que p(x) é irreducível em \mathbb{Q}[x] (então será o polinómio mínimo, pois é monico e tem menor grau possível se for irreducível).
Observe que p é um polinómio em x^2. Faça a substituição y=x^2. Então
q(y):=p(x)=y^2 - 12y + 64\in\mathbb{Q}[y].
O discriminante de q(y) é
\Delta = (-12)^2 - 4\cdot 1\cdot 64 = 144 - 256 = -112 < 0.
Como \Delta não é um quadrado racional (na verdade é negativo), o polinómio quadrático q(y) é irrreducível em \mathbb{Q}[y]. Isso implica que não existem r,s\in\mathbb{Q} tais que q(y)=(y-r)(y-s).
Agora precisamos garantir que p(x) não se factoriza em \mathbb{Q}[x] como produto de dois quadráticos com termos lineares (por exemplo (x^2+ux+v)(x^2+wx+t)). Suponha, para contradizer, que exista factorização
p(x)=(x^2+ux+v)(x^2+wx+t)
com u,v,w,t\in\mathbb{Q}. Comparando os coeficientes:
  • coeficiente de x^3: u+w=0, logo w=-u.
  • coeficiente de x: ad+bc = u t + v w = u t + v(-u) = u(t-v)=0. Assim ou u=0 ou t=v.
Caso 1: u=0. Então w=0 e a factorização fica (x^2+v)(x^2+t). Então em termos de y=x^2 isso corresponderia a
q(y)=(y+v)(y+t),
ou seja q teria raízes racionais y=-v e y=-t, o que contradiz a irreducibilidade de q(y) (discriminante negativo). Portanto u\neq 0.
Caso 2: t=v. Então v^2 = bt = termo constante de p que é 64, logo v^2=64 e v=\pm 8. O coeficiente de x^2
ac + b + d = u w + v + t = -u^2 + 2v = -12,
isto é 2v = -12 + u^2. Se v=8 obtemos 16 = -12 + u^2 e assim u^2=28, o que não é quadrado racional, impossível em \mathbb{Q}. Se v=-8 obtemos -16 = -12 + u^2 e assim u^2=-4, impossível em \mathbb{Q}. Logo esse caso também é impossível.
Portanto não existe factorização não-trivial de p(x) em \mathbb{Q}[x]. Concluímos que p(x) é irreducível sobre \mathbb{Q}.

Passo 5

Já que p(x)=x^4-12x^2+64 é monico, tem \alpha como raiz e é irreducível em \mathbb{Q}[x], ele é o polinómio mínimo de \alpha sobre \mathbb{Q}. O seu grau é 4, portanto [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=4.
Além disso, da equação do Passo 3 temos explicitamente
\sqrt{7}=s=\frac{\alpha^2+8}{2\alpha}\in\mathbb{Q}(\alpha),
porque \alpha\neq 0 (note que \alpha\neq 0 pois \alpha\overline{\alpha}=(\sqrt{7}-i)(\sqrt{7}+i)=7+1=8\neq0). Então \sqrt{7}\in\mathbb{Q}(\alpha). Logo também
i = \sqrt{7}-\alpha = \frac{\alpha^2+8}{2\alpha}-\alpha = \frac{8-\alpha^2}{2\alpha}\in\mathbb{Q}(\alpha).
Portanto \mathbb{Q}(\alpha) contém \sqrt{7} e i, isto é \mathbb{Q}(i,\sqrt{7})\subseteq\mathbb{Q}(\alpha). A outra inclusão \mathbb{Q}(\alpha)\subseteq\mathbb{Q}(i,\sqrt{7}) é óbvia porque \alpha=\sqrt{7}-i pertence a \mathbb{Q}(i,\sqrt{7}). Logo
\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(i,\sqrt{7}).
Como \deg p=4, uma base natural de \mathbb{Q}(\alpha) como espaço vetorial sobre \mathbb{Q} é
\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3\},
e todo elemento de \mathbb{Q}(\alpha) pode ser escrito de forma única como
a_0 + a_1\alpha + a_2\alpha^2 + a_3\alpha^3,\qquad a_j\in\mathbb{Q}.

Resposta

(a) p_{\alpha}(x)=x^{4}-12x^{2}+64.
(b) \mathbb{Q}[\alpha]=\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(i,\sqrt{7})=\{a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+a_3\alpha^3 \mid a_j\in\mathbb{Q}\}, com \sqrt{7}=\dfrac{\alpha^2+8}{2\alpha} e i=\dfrac{8-\alpha^2}{2\alpha}.

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