Seja f(x) uma função periódica de período 2 L definida por f(x)=x^{2} para -L<x<L.
a) Faça um gráfico dessa função e determine sua expansão em série de Fourier.
b) Usando o teorema de Fourier e calculando a série no ponto x=L mostre que
Informações relevantes dadas: f(x)=x^{2} para -L<x<L e f é estendida periodicamente com período 2L. Não há outros dados numéricos (podemos trabalhar com L genérico e, se necessário, escolher L=\pi para comparar com a série clássica).
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no gráfico qualitativo. A função x^{2} em -L<x<L é uma parábola mesmo, simétrica (par) em torno de x=0. Ao estendê-la periodicamente com período 2L, vamos obter uma sucessão de arcos parabólicos repetidos a cada intervalo de comprimento 2L. Em particular, em cada ponto x=k(2L)\pm L (os extremos do intervalo fundamental) a função se conecta ao arco da direita/da esquerda de forma que os valores à esquerda e à direita são iguais (L^{2}), então a extensão é contínua nesses pontos também (se definirmos o valor nesses pontos como o limite). Portanto o gráfico é uma cadeia de “vales” parabólicos periódicos, simétrica em torno de cada centro x=k(2L). (Isso serve só para visualizar; a parte principal é a série.)
Agora vamos escrever a forma geral da série de Fourier para uma função de período 2L e aplicar ao caso f(x)=x^{2}.
Observação importante (e aqui um pouco de didática): x^{2} é uma função par, ou seja, x^{2}=(-x)^{2}. Para funções pares, as integrais com seno (funções ímpares) sobre [-L,L] são zero, logo todos os b_{n}=0. Assim a série será apenas em cossenos (uma “série de cossenos” ou série de Fourier em termos de funções pares). Isso reduz trabalho e é um resultado que costuma facilitar muito no exame: sempre verifique simetria.
Portanto, vamos calcular a_{0} e a_{n} apenas.
Passo 4
Cálculo de a_{0}.
Usamos a definição:
a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}x^{2}\,dx.
Como x^{2} é par, \int_{-L}^{L}x^{2}\,dx=2\int_{0}^{L}x^{2}\,dx. Calculamos:
Escrevendo a série de Fourier completa (resumo didático).
Temos b_{n}=0 para todo n, a_{0}=\dfrac{2L^{2}}{3} e a_{n}=\dfrac{4L^{2}(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}} para n\ge 1. Assim a expansão em série de Fourier da função periódica é
onde o termo constante foi escrito como \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{L^{2}}{3}. Isso é a resposta da parte (a). Comentário pedagógico: na hora da prova, memorize a forma geral da série e use simetria (par/ímpar) para eliminar termos; para integrar os coeficientes, a integração por partes duas vezes é a técnica padrão.
Passo 11
Agora a parte (b): usar o teorema de Fourier avaliando a série no ponto x=L.
Pelo teorema de Fourier, a série converge (no ponto x=L, que é um ponto de contorno da célula fundamental) ao ótimo valor: quando a função é contínua no ponto, a série converge ao valor da função; se houver descontinuidade, converge à média dos limites laterais. No nosso caso, os limites laterais em x=L são
portanto não há descontinuidade efetiva no valor (a extensão periódica tem o mesmo valor), então a série converge para f(L)=L^{2}. Substituímos x=L na série:
No lado direito, \cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) com x=L vira \cos(n\pi)=(-1)^{n}. Então cada termo da soma fica